撰文｜張天祁

AI在朝着成爲傑出數學家的道路上又邁出了一步。爭議也隨之而來。

9月8日，OpenAI公佈了一份關於納維–斯托克斯方程（Navier–Stokes equations，簡稱N-S方程）存在性與光滑性問題的證明。

OpenAI稱，其內部AI系統在約1萬個智能體協同工作88小時後，找到了一種三維不可壓縮N-S方程有限時間形成奇點的構造。隨後又讓GPT-6 Astra將證明形式化爲Lean代碼，並完成機器驗證[1]。

美國數學學會（AMS）主席Ravi Vakil和CEO John Meier公開回應稱，N-S問題取得的最新進展是“人類知識的一項里程碑式進步”。他們表示，數學的目的在於增進人類理解，這項成果及其產生的過程還將長期產生影響[2]。

01

千禧年大獎難題”

2000年，克雷數學研究所（Clay Mathematics Institute）將N-S方程的存在性與光滑性問題列爲七個“千禧年大獎難題”之一，併爲解決者提供100萬美元獎金。

這些問題覆蓋數論、幾何、計算機科學和數學物理等領域，被認爲是20世紀數學留下的最重要問題之一。到目前爲止，7個問題中只有龐加萊猜想已經解決。

N-S方程描述水、空氣等流體的運動。現實中的流體由大量分子組成，但在通常的尺度下，我們可以把它看成一種連續介質，用一個隨時間變化的速度場來描述整個流體。

數學家關心的是，這種對流體的連續介質描述，會不會在某個時刻失效？

具體而言，對於一個密度恆定的三維不可壓縮流體，如果它從一個完全平滑的狀態開始運動，速度會不會在有限時間內越來越大，最終超過任何有限的數值，出現奇點？

如果這種情況發生，數學上就稱爲出現有限時間爆破（finite-time blowup），意味着流體的運動在這個時刻形成奇點，原來的光滑解無法繼續存在。

對於真實流體來說，速度不可能真的無限增大。到了這個時候，N-S方程作爲連續介質模型也就無法繼續描述流體的運動。要進一步追蹤系統的運動，就需要回到更微觀的尺度，考慮組成流體的單個粒子。

克雷數學研究所給出的題目要求，就是要在兩種可能中證明其中一種。要麼對於滿足條件的初始狀態，三維N-S方程始終存在光滑解。要麼找到一個具體的流體運動，證明它會在有限時間內出現奇點。

早在1934年，法國數學家讓·勒雷（Jean Leray）證明了三維N-S方程全局弱解的存在性。但這些弱解是否始終足夠光滑，仍無法確定。此後，數學家證明了二維N-S方程的光滑解可以一直存在，但三維情形一直沒有得到證明。

菲爾茲獎得主陶哲軒曾在博客文章中提到。如今學界普遍預期，三維情形下光滑解不會一直存在。應該能夠構造出光滑的初始數據和光滑的外力項，使得這些方程在有限時間內產生奇點，甚至在沒有外力項的情況下也應當能夠實現這一點[3]。

OpenAI這次的路線，也是證明在有限時間內會出現奇點。

這次AI模型構造的解可以直觀地理解爲一個不斷向內旋轉的渦旋。隨着流體運動，渦旋一邊旋轉，一邊沿着軸向被不斷拉長，像一根越拉越細的麪條。

與此同時，位於中心的區域越來越小，流體旋轉得越來越快。這個過程持續進行，直到有限時間內，局部速度增長到超過任何有限的數值，形成奇點。儘管局部運動越來越劇烈，整個流體的能量卻始終保持有限。

圖源：OpenAI。局部不可壓縮運動的快照。橙色表示角速度較快；青色表示旋轉較慢。環流速度同樣取決於半徑。軌跡展現了向內螺旋盤旋和軸向拉伸的現象。

OpenAI認爲,這一結果滿足克雷研究所對N-S問題正式表述中的C、D兩種情形，也就是對應三維全空間和週期空間，構造帶光滑外力的爆破反例。

02 1萬個智能體，88小時

OpenAI這次研究的起點，其實相當偶然。

8月28日，OpenAI開始訓練一個新的內部模型。幾天後，數學家兼OpenAI研究員塞巴斯蒂安·布貝克（Sébastien Bubeck）等人聽到傳聞，稱OpenAI的老對手Anthropic可能已經解決了兩個千禧年大獎難題。

Anthropic的傳聞顯然加快了OpenAI的行動。9月1日，團隊把剛剛訓練出的新模型投入尚未解決的千禧年問題。布貝克後來解釋說，他們原本並沒有專門準備N-S方程研究項目，只是新模型在數學任務上的能力出現了明顯躍升，於是決定藉此機會測試它究竟能做到什麼程度[4]。

他們採取的是一種大規模並行的研究方式。對於每個問題，OpenAI把不同版本的命題分別交給不同智能體組，有的嘗試證明解始終存在，有的則尋找反例。與此同時，他們還給系統準備了一批難度較低、但結構相近的問題，用來觀察模型能否先找到突破口。

N-S方程對應的“練習題”就是三維歐拉方程的正則性問題。歐拉方程可以看作去掉黏性項後的N-S方程，因此與N-S方程有直接的數學聯繫。

結果出乎團隊預料。大約100個智能體花了50個小時，就解決了無外力歐拉方程的有限時間爆破問題。這個結果改變了整個項目的方向：布貝克和團隊由此判斷，N-S方程可能是這輪搜索中最有希望的目標，於是把原本分散在其他千禧年問題上的智能體陸續撤回來，把歐拉方程得到的結果交給它們，作爲繼續攻克N-S方程的起點。

最終，參與N-S方程搜索的智能體規模達到約1萬個。9月5日，也就是第一批智能體啓動約88小時後，系統得到了OpenAI後來公佈的N-S方程證明。整個項目中，所有數學問題合計產生約490萬條智能體消息、3000億個輸出token。其中N-S方程一項就佔了270萬條消息和約1300億個輸出token。隨後，GPT-6 Astra又用了17個小時完成Lean形式化和驗證。

Lean會檢查形式化證明中的每一步推導，代碼通過檢查，意味着這份形式化證明在Lean採用的數學基礎上成立。對這類結果，數學家仍然需要閱讀證明本身，確認形式化後的命題、定義和假設與最初問題相符。

完成這項研究後，OpenAI稱，無意憑藉此成果去申請克雷千禧年大獎。並表示這並不是終點，而只是AI 發展進程中的一個切片。

03 一場數學家與AI公司的正面交鋒

9月初，社交媒體上開始流傳Anthropic可能正在攻克N-S方程的消息。

紐約大學柯朗數學科學研究所數學教授特里斯坦·巴克馬斯特（Tristan Buckmaster）很快意識到，傳言可能指向的，就是自己過去一年一直在做的研究。

巴克馬斯特長期研究流體方程中的奇點形成。2019年，他與菲利普·伊塞特（Philip Isett）、弗拉德·維科爾（Vlad Vicol）共同獲得克雷研究獎；其中，他與維科爾關於N-S方程弱解非唯一性的工作，改變了數學界對這類解的認識[5]。

他近期的合作者萊文特·阿爾珀格（Levent Alpöge）是Anthropic的數學家。雖然如此，巴克馬斯特強調，這並不是Anthropic的項目，雙方僱主都沒有正式參與。

兩人的合作始於大約一年前。他們沿着數學家迭戈·科爾多瓦（Diego Córdoba）和路易斯·馬丁內斯-佐羅阿（Luis Martínez-Zoroa）此前提出的思路，通過外力讓流體方程的解在有限時間內失去光滑性、形成奇點，再將這種機制一步步推進到更接近三維N-S方程的情形。過去一年中的大部分時間，進展都很慢。兩人同時使用了多種大模型，包括Anthropic的Claude、OpenAI的Codex以及GPT-5.6 Sol等[6]。

8月15日左右，兩人取得進展。在外力本身保持光滑的條件下，他們證明二維Boussinesq方程和三維不可壓縮歐拉方程的解可以在有限時間內失去光滑性、形成奇點，即所謂的“有限時間爆破”（finite-time blowup）。此前，他們已經在不可壓縮多孔介質方程上得到類似結果。

這些方程與N-S方程密切相關，但還不是克雷研究所要解決的三維N-S方程。陶哲軒評論，兩人的研究“尚未完全實現目標，但他們已經取得了突破性進展”。8月22日，他們還完成了一份相關證明的Lean形式化驗證。

9月3日，巴克馬斯特得知自己的研究進展可能已經傳到了OpenAI，於是主動聯繫OpenAI，向對方說明這項工作是他和阿爾珀格的私人合作，並不涉及Anthropic的項目，希望避免兩邊的研究發生直接衝突。

三天後，雙方第一次通話。巴克馬斯特這才得知，OpenAI的一個內部模型已經做出了在外力作用下的N-S方程有限時間爆破證明。數學表述是，在三維歐氏空間和三維週期空間中存在受外力作用的爆破，且外力函數是光滑的，對應克雷研究所關於N-S方程正式題目中的C、D 兩項。

這讓巴克馬斯特尤其警覺。OpenAI提到的，正是他過去一年一直在推進的技術路線。在他看來，當時幾乎沒有其他研究者在堅持這個路線。“這不是把問題本身交給一個模型，幾天之內就能找到的研究方向。當我聽到‘外力驅動’這個詞時，警報立刻響了起來“。

巴克馬斯特隨後想到一個更關鍵的問題。過去一年，他和合作者一直在用Codex推進這項研究，項目中的草稿和數學推導也都留在Codex的對話裏。於是，他在通話中直接問OpenAI，這些對話是否曾被模型看到，或者是否被用於模型訓練。

得到的回答是，模型不會查看用戶數據。但當他進一步追問這些數據是否曾被用於訓練時，沒有得到明確答覆。

發佈N-S方程研究結果同時，OpenAI對這一問題作出了回應。公司表示，在兩人公開成果之前，OpenAI的研究人員和智能體“從未通過任何途徑見過他們的任何工作”，也沒有爲了這次研究調取特定的用戶數據。

不過，OpenAI同時承認，儘管這種可能性很低，公司無法排除兩人使用OpenAI產品產生的去標識化數據曾參與模型改進。

04

當AI成爲數學研究的競爭者

讓巴克馬斯特不滿的，還有OpenAI隨後提出的發表和署名安排。9月7日，他在發佈論文的同時公開了一份4頁的陳述，詳細講述了前一天與OpenAI的兩次通話。

按照巴克馬斯特的說法，OpenAI當時提出了兩種安排：一種是他和Levent Alpöge先發布自己的成果，OpenAI第二天再公佈N-S方程的結果。另一種是由巴克馬斯特單獨撰寫一篇N-S方程論文，並將證明歸於OpenAI的內部模型，而在Anthropic工作的阿爾珀格不能署名。

巴克馬斯特拒絕了這一安排，並表示如果OpenAI堅持這樣發佈，他就會把雙方的談話公開。

巴克馬斯特寫道，對方問他：“你爲什麼要毀掉自己的職業生涯？”當他追問公開這些事情爲什麼會毀掉自己的學術生涯時，對方又說：“如果你不想讓我客客氣氣的，那我也沒必要客氣了。”

布貝克隨後對這段談話作出了回應。按照他的說法，當時巴克馬斯特已經表示，如果OpenAI公佈N-S方程的結果，就會立即聯繫媒體，並提出一系列沒有依據的指控。布貝克稱，自己當時說的是“不明白爲什麼要提出一些未經證實的指控，拿自己的職業生涯冒險”，本意是希望勸阻巴克馬斯特把事情帶向公開衝突。他還說，這句話的措辭非常糟糕，自己當場就收回了。

雙方目前各執一詞，這場爭議已經從研究歸屬延伸到OpenAI與Anthropic兩家公司的競爭。Anthropic近期正在籌備上市，N-S方程又是接近數學最高難度的公開問題，這次成果的發佈和署名因此格外敏感。

OpenAI最近一年接連把AI數學成果作爲模型能力的證明，在今年5月也成功通過模型推翻埃爾多什單位距離猜想。但其中也多次出現過先宣佈，後發現問題的情況[7]。

2025年10月，OpenAI副總裁Kevin Weil曾宣佈GPT-5解決了10個此前未解決的Erdős問題，但相關說法隨後被刪除，實際上，其中一些問題實際上已有已知解答。

今年8月1日，OpenAI又一次性公佈了十項數學與理論計算機科學成果，稱這些結果由內部版本的Astra完成，並全部給出了Lean形式化證明[8]。

但發佈後不久，數學家就發現其中一項關於量子博弈的證明存在問題：證明中一個關鍵條件的方向被寫反了，由此得到的後續推導並不能成立。研究者隨後給出了修正後的證明，不過這並不意味着OpenAI所聲稱的最終結果本身是錯誤的[9]。

另一項高維球堆積結果也引發了關於既有工作的爭議。耶希瓦大學數學家斯蒂芬·米勒（Stephen Miller）指出，OpenAI給出的證明中一個關鍵論證此前已出現在他與合作者2016年的工作中，而OpenAI最初的表述沒有充分說明這一來源。OpenAI隨後修改了相關表述[10]。

截至發稿時，在克雷基金會的官方頁面上，N-S問題仍然被標註未解決。但無論OpenAI的證明最終能否得到數學界認可，這個事件已經說明。AI不再只是幫助數學家尋找答案的工具，大公司指揮下的AI，已經開始進入研究、發表和署名這些原本由數學家主導的環節，甚至開始反客爲主了。

巴克馬斯特的遭遇就是一個例子。他原本想借論文公佈之際，發表一份聲明，進一步討論數學界與AI的關係。最後，這份聲明卻變成了對自己與OpenAI之間這場突如其來的署名爭議的回應。

原本他想表達，AI時代具體成果本身並不是最重要的，真正重要的是其背後的意義。它對今後如何培養學生、界定學術貢獻、進行同行評審，以及判斷什麼值得耗費人類畢生精力去鑽研，都可能產生深遠影響，怎麼強調都不爲過。

“這是一個屬於數學界的‘深藍對抗卡斯帕羅夫’時刻。學術界亟需進行一場嚴肅而從容的討論，以明確我們未來何去何從”。巴克馬斯特說。

可是，AI真正開始改變數學研究的方式時，他甚至連談這個問題都顧不上了。

近期，陶哲軒已經在不斷警告濫用AI進行數學研究的負面影響。“不加區分地使用強大的解決方案提取工具，確實可以迅速解決眼前的問題，但代價可能是損害支撐下一輪突破的研究生態，也讓我們越來越難真正理解已經取得的進展”。

在9月7日的博客文章中，陶哲軒在介紹巴克馬斯特與合作者的新研究時特意提到。構建數學理解是挑戰難題的核心價值所在。至於解決一個具體問題，僅僅是構建數學理解與洞察這一主要目標的替代目標（proxy goal）。

“若是脫離了這種深層理解，即便是像N-S方程正則性這樣赫赫有名的問題，其對數學本身的內在重要性，也遠沒有大衆媒體有時宣傳的那樣重大”。陶哲軒說。

他進一步警告，如今真正稀缺而珍貴的是找到一個值得研究的問題。現在大家已經看到，哪怕只是傳出有人正在研究某個問題，也可能立刻引來大規模的AI攻關，在原本的研究還沒有充分展開之前，就把這個問題迅速攻克。

“這樣一來，研究者可能越來越不願意向同行公開那些有潛力的研究方向，數百年來形成的開放科學傳統也可能因此受到損害，最終影響整個領域的長期發展”。陶哲軒說。

參考文獻：

[1] OpenAI. (2026, September 8). On the Navier–Stokes Millennium Prize Problem

https://openai.com/index/navier-stokes-solution/

[2] American Mathematical Society. (2026, September 8). Statement from AMS Leadership on Navier-Stokes Problem. https://www.ams.org/news?news_id=7686

[3] Tao, T. (2026, September 7). Finite time blowup with smooth forcing term for the incompressible porous medium, Boussinesq, and incompressible Euler equations What’s New. https://terrytao.wordpress.com/tag/levent-alpoge/

[4] Wall Street Journal. (2026, September 8). OpenAI Says It Has Solved a Millennium Prize Problem—a Holy Grail of Math.https://www.wsj.com/tech/ai/openai-millennium-prize-navier-stokes-math-2bf240f8

[5] Clay Mathematics Institute. (2019). 2019 Clay Research Awards. https://www.claymath.org/news/2019-clay-research-awards/

[6] Buckmaster, T. (2026, September 7). Statement. New York University Courant Institute of Mathematical Sciences. https://cims.nyu.edu/~tristanb/statement.pdf

[7] OpenAI. (2026, May 20). An OpenAI model has disproved a central conjecture in discrete geometry. https://openai.com/index/model-disproves-discrete-geometry-conjecture/

[8] OpenAI. (2026, August 1). Ten advances in mathematics and theoretical computer science. https://openai.com/index/ten-advances-in-mathematics/

[9] AI Understanding. (2026, August 18). Audit of an OpenAI AI-Generated Proof Finds a Reversed Condition, and Publishes a Repair. https://aiunderstanding.org/news/audit-of-an-openai-ai-generated-proof-finds-a-reversed-condition-and-publishes-a-r

[10] Howlett, J. (2026, August 6). OpenAI’s latest math breakthroughs commit research misconduct, experts say. Scientific American. https://www.scientificamerican.com/article/openais-latest-math-breakthroughs-commit-research-misconduct-experts-say/