2022年4月，丘成桐在清華大學。圖源：清華大學

撰文｜丘成桐

1978年，29歲的丘成桐在《純粹與應用數學通訊》發表卡拉比猜想的完整證明，解決了復幾何領域一個懸而未決二十餘年的難題。[1] 這是數學史上璀璨的一筆，開啓了幾何分析的新時代，由此發展出的成果甚至不斷延伸至代數幾何、拓撲學和理論物理等領域。

卡拉比猜想的證明工作實際上在1976年已經完成。當年聖誕節，丘成桐與猜想提出者卡拉比（Eugenio Calabi）及紐約大學數學家路易斯·尼倫伯格會面，經兩人檢查證明過程並確認其正確性。

也正因此，2026年是卡拉比猜想被證明的50週年。

圍繞卡拉比猜想形成的新方法和理論，推動了大量研究成果的湧現。丘成桐也因其在微分幾何、偏微分方程等領域的一系列貢獻，於1982年成爲首位獲得菲爾茨獎的華人數學家。

丘成桐在自傳中描述解決卡拉比猜想那一瞬間：“不知何故令我對大自然有了一種新的認知和感受。”[2]

這種對數學結構與時空之間的深層感悟，在此後的物理學界找到了迴響。1985年，四位物理學家將滿足特定條件的卡拉比-丘流形引入超弦理論，爲額外維度的緊緻化提供了數學基礎。[3] 斯坦福大學物理學家薩斯金（Leonard Susskind）稱，卡拉比-丘流形是“弦論的DNA”。

2026年9月7日，清華大學求真書院、北京雁棲湖應用數學研究院、清華大學丘成桐數學科學中心在北京舉辦"傳承與未來:卡拉比-丘理論發展五十週年學術研討會”。

中國科學院高能物理研究所所長曹俊在會上表示，卡拉比-丘流形對人類探索時空結構、物質最小組成單元以及基本相互作用規律產生了深遠影響。

他指出，弦理論是目前探索統一描述自然界基本相互作用最有希望的理論框架之一，其自洽性要求十維時空，而卡拉比-丘流形爲額外六維空間的緊緻化提供了幾何基礎，其幾何結構可能進一步決定四維時空中的物理規律。

卡拉比-丘理論的發展並未就此止步。丘成桐回顧：“到了1988年，人們已不再視卡拉比-丘流形爲熱門課題。但我從未放棄對這些優美流形的研究。”

此後，布萊恩·格林（Brian Greene）與羅南·普萊瑟（Ronen Plesser）在卡拉比-丘流形中發現鏡像對稱的重要證據，推動了這一領域新的發展。“自那時起，三十年過去了，期間發展出了許多優美的理論，其中大多數都引人入勝。”丘成桐說。

在丘成桐看來，卡拉比-丘流形的探索仍未結束。就像橢圓曲線被作爲數論和代數幾何的主要工具，卡拉比-丘流形或許也將發揮類似的作用。

2014年7月，丘成桐曾賦詞一首《臨江仙：記七六年事》。

字形霧籠煙鎖，遍尋繾綣難持。靈犀一點倩誰知？落花人獨立，微雨燕雙飛。

記得好事新諧，笙調心印人依。絃琴天籟寄相思，大鈞玄祕在，物數竟同歸。

在註釋中，丘成桐回憶自己少年時便懷有“欲解宇宙之形，究天地之變”的志向。歷經“六年辛勤、終無所成”的迷茫，他在1976年秋天完婚後，“不旬日竟得靈犀，解估值之謎，見時空之雅緻。仿若天人合一。”

丘成桐曾在與史蒂夫·納迪斯合著的《大宇之形》中詳述了卡拉比猜想的探索歷程。該書中文版於2018年首次出版，並於2026年5月推出最新修訂版。

在卡拉比-丘理論五十週年之際，《知識分子》特此節選相關內容，以饗讀者。

01

美到難以置信：卡拉比猜想

幾何分析這項新利器的第三項重大成就，是關於“卡拉比猜想”。這個猜想是由數學家卡拉比（Eugenio Calabi）在1953年提出的。往後的發展證明，卡拉比猜想對於幾何分析以及對於我個人影響都極爲深遠。我認爲自己能夠巧遇，或者該說是一頭撞上卡拉比的想法，是我莫大的幸運。（更何況那年頭還不時興戴安全帽，哈。）任何有足夠才智和訓練的數學家，都有可能對這個領域有所貢獻，但要找到特別適合你的才智和思考風格的研究課題，就得依靠運氣了。

雖然我在數學上有過幾次幸運的遭遇，但是遇見卡拉比猜想無疑是一個亮點。卡拉比猜想的問題形式，是要證明“復空間”（complex space）的拓撲性質以及其幾何性質（或曲率）之間的聯繫。基本想法是以某個單純的拓撲空間爲起點，建立起某種幾何結構，以便稍後再以各種方式處理。卡拉比所問的問題雖然在細節上極有原創性，但在形式上則是常見的幾何學問題：給定一個一般的拓撲空間，或說粗糙的形體，究竟上面容許哪些幾何結構？

這麼說來，卡拉比猜想並不像是飽含物理意義的問題。且讓我換種方式重述一次。卡拉比猜想所討論的是具有一種特殊曲率（稱爲“黎奇曲率”）的空間，而一個空間的黎奇曲率和該空間的物質分佈有關，如果我們說一個空間是“黎奇平坦”的，意思是它的黎奇曲率爲零，亦即空間中沒有物質。從這個角度來看，卡拉比所問的問題其實密切聯繫到愛因斯坦的廣義相對論：假如我們的宇宙全無任何物質，它還會有引力嗎？如果卡拉比是對的，曲率可以讓空無一物的空間仍然有引力。不過他的表述更普遍，涉及的不僅是廣義相對論所設定的四維時空，還包括任何偶數維度的空間。然而對我而言，把這個猜想放在這樣的物理架構中來理解，是最令人興奮的表達方式。它和我的信念起了強烈的共鳴：數學中最深刻的理念，只要證明爲真，幾乎總是有重要的物理意義，並展現於大自然之中。

無論卡拉比是否有意識地思及物理學，他的幾何猜想與引力之間的聯繫，是促使我着手研究的主要動機。我體認到，證明卡拉比猜想可能是發現某些深刻奧祕的重大步驟。

像卡拉比猜想之類的問題，通常是以空間上的度量來表述。關於一個空間可以“支持”怎樣的度量，卡拉比猜想所問的，也可以說成：給定一個空間的拓撲形態，它容許怎樣的幾何形狀？他想要知道的是，某一種緊緻（亦即範圍有限）的複流形（稱爲“凱勒”空間），如果滿足特定的拓撲條件，是否同樣也能滿足具備黎奇平坦度量的幾何條件。坦白說，這個猜想所用的術語都很不容易理解，要替這些觀念下定義，得花好些工夫。總之，猜想的要旨在於，合乎上述這些複雜要求的空間，在數學上和幾何上是可能存在的。

對我而言，這樣的空間猶如鑽石般稀有，而卡拉比猜想提供了找到它們的地圖。如果你知道如何在一流形上解出該方程，而且能瞭解該方程的整體結構，那麼你就可以在合乎該條件的“所有”凱勒流形上，使用相同方法來解出此方程。卡拉比猜想提供了普遍的法則，告訴我們“鑽石”的確在那兒，我們尋找的特殊度量確實存在。即使看不到它璀璨的全貌，仍然可以確信它是真品。所以在數學理論中，這個問題猶如珍貴的寶石，或者也可說是未琢的璞玉。

從這裏產生出我最爲人熟知的成果，這甚至可說是我的天職。不論大家的工作崗位是什麼，每個人都希望能找到真正的人生使命，自己來到這世上的真正目的。對演員來說，那可能是飾演《慾望街車》裏的史丹利·科瓦斯基，或是《哈姆雷特》中的主角。對於消防員，那可能是撲滅一場超級大火。如果是執法人員，那可能是逮捕頭號人民公敵。而在數學裏，則可能是找出那個你命中註定要研究的問題。又或許，跟宿命毫無關係，只是找到一個你夠幸運能解決的重大題目。

坦白說，我是一個比較務實的人，當我選擇研究課題時，從來不曾想過“宿命”。我或者是去尋找新方向，希望能夠帶出一些日後證明具有重要意義的數學問題；又或者是挑選現有的問題，以期在更深刻地理解它之後，能引導我們見到另一個新視野。

存在已有一二十年的卡拉比猜想屬於後者。我在進研究所的第一年就緊抓住這個題目，不過有時候，反倒像是問題纏上了我。在此之前，以及從此之後，都不曾有其他題目這麼強烈引起我的興趣，我感覺到它可以開啓一門新的數學分支。雖然卡拉比猜想隱約與龐加萊的經典猜想相關，但我覺得它的意義還要更加深遠，因爲如果卡拉比的預感是對的，它將會得出一大類我們當時仍一無所知的幾何空間，甚至還可能帶來對於時空的新認識。對我而言，這個猜想幾乎是無法逃脫的，在我早期的曲率研究工作中，不管哪一條路最後都指向卡拉比猜想。

完整的卡拉比猜想並不僅限於黎奇曲率爲零。黎奇曲率爲常數的情形同樣也很重要，特別是在負曲率時，我最終用它解決了幾個代數幾何的著名問題。儘管如此，黎奇曲率爲零的情形仍有其特殊地位，因爲它的曲率不僅是常數，而且不多不少恰恰是零。這就形成了一項重要挑戰：找出一個或一整類流形的度規，使其不僅近乎完美，而且不會無趣。

一切聽起來都很美妙，不過這兒有個陷阱：卡拉比真的對嗎？在卡拉比提出猜想二十餘年以來，除了他本人之外，沒有幾個數學家相信他的猜想是真的。其實，許多人反倒覺得它好到不可能是真的；我就是其中之一。但我不願把懷疑藏在心裏，只在場外指指點點而已。恰恰相反，我下定決心要證明卡拉比猜想是錯的。

02

證明卡拉比（是錯？是對？）

我試着利用閒暇時間來尋找卡拉比猜想的反例。其中不乏令人興奮的時刻：我會找到某個似乎能否定猜想的進攻路線，但稍後不免發現我那看似完美無瑕的推理總是有着缺陷。這樣的情形屢屢發生。1973年時，我得到靈感，心中覺得這次真的大有可爲。我採取的策略是歸謬證法，和孫理察與我證明正質量猜想時的策略是類似的。在我來看，我的論證無懈可擊。

很湊巧地，我這次的靈感也是在1973年斯坦福大學舉辦的國際幾何研討會上得到的，亦即格羅赫談到正質量猜想的那場研討會。一般來說，參加學術會議是得知你的領域內和領域外最新進展的好方法，而這次也不例外。它們是和難得見面的同行互相交換想法的絕佳場合。然而，難得會有一場研討會就此改變了你的生涯歷程，遑論改變兩次！

與會期間，我不經意地和一些同行提到我或許找到了可以徹徹底底否證卡拉比的方法。雖然我已經排定了幾場正式演講，但在幾番慫恿之後，我還是答應在某一天的晚飯後，非正式地談談我的想法。當晚大約來了二十人，氣氛非常熱烈。當我講完後，大家似乎都同意這推理很紮實。當時卡拉比也在場，他也沒有提出異議。他們說我這項研究成果是對本次會議的一大貢獻，事後我也覺得很滿意。

可是數月後，卡拉比跟我聯絡，因爲他對論證裏的某些細節感到困惑，因此要求我把論證寫下來。於是我開始以更嚴格的方式來證明猜想是錯的。由於收到卡拉比的信，我感覺非得提出證據，以支持我的大膽斷言。因爲這股壓力，我努力工作了兩個星期，幾乎沒怎麼睡，把自己逼到幾乎虛脫。但每當我以爲終於把證明搞定時，論證總會在最後一刻崩潰，一次又一次重演，令人愈發沮喪。兩週的煎熬下來，我判斷必定是我的推理出了差錯。唯一的辦法是改弦易轍，改從反方向進攻。換句話說，我改而認定卡拉比猜想必定是對的！這令我的處境有點微妙：在如此努力否證猜想之後，我又倒過來要證明它成立。而如果猜想是對的，那麼伴隨它而來的一切，那些我們以爲“好到難以置信”的一切，也必定都是對的。

我在1975年夏天完成了卡拉比猜想二階估計的初步工作。除了決定出二階估計，我還論證了二階估計是如何依賴於零階估計，以及如何可從零階導出二階估計。在完成二階估計的工作後，我知道整個猜想的證明，現在完全維繫在一個問題上：零階估計。一旦解決零階估計，我不但能得到二階，同時也能得到一階，就像是免費贈品一樣。因爲當有了零階和二階估計後，我們就確切知道如何求出一階估計。這是所謂的幸運時刻，各階估計之間會有怎樣的關係全憑天意，而這次，老天爺是很大方的。

最後這一段研究，我是在紐約大學的庫朗數學學院做的，尼倫柏格幫我在那裏找到訪問學者的職位，而我的未婚妻友雲當時則在普林斯頓。沒多久，友雲得到在洛杉磯的工作機會，爲了和她待在同一地點，我也接受了加州大學洛杉磯分校的訪問教職。1976年，我們開車橫越美國，準備到加州之後結婚（後來也如願結婚了）。那是一段難忘的旅程，路上風光旖旎，我們正在熱戀之中，規劃着如何共度人生。但我得承認，我可不只是有點分心，卡拉比猜想還在我的心裏憋着，尤其是極難證出的零階估計。我花了整整一年的時間，最後在1996年9月，婚禮剛過之後，才求出零階估計，證明於是大功告成。看來，我需要的正是婚姻生活。

當然，人們常說，驗證布丁口味好壞最好的辦法就是喫下去。意思是指，即使某物外表看來不錯，也得真的經過測試才知道好壞。關於卡拉比的證明，這次我不願冒任何風險。1973年時，我已在斯坦福丟過一次臉，在衆所矚目的場合上宣稱我知道如何證明卡拉比猜想是錯的。我自以爲能夠否定卡拉比猜想的證明，結果卻有瑕疵；如果我肯定卡拉比猜想的證明又有瑕疵，那我就真的名譽掃地了。我自忖，在未及而立之年的這個生涯階段，我不能再承受一次錯誤——至少不是在這麼重要且受人關注的事情上犯錯。

所以我檢查再檢查，用不同的方法，把證明從頭到尾覈對了四次。覈對的工夫多到我發誓如果這次再出錯，我就從此退出數學界。從任何角度看，我都找不出論證裏有瑕疵，一切全都嚴絲合縫。當時還沒有因特網，可以讓我把初稿上傳，向衆人徵詢意見，我只能採用老法子：把證明的書面稿郵寄給卡拉比，然後到費城去和他及賓州大學的數學家卡茲當（Jerry Kazdan）等多位幾何學家，面對面一起討論。

卡拉比認爲這個證明很紮實，但我們決定去找尼倫柏格，和他一起再逐步看過。因爲要找到三人都有空的時間並不容易，我們終於約定在1976年的聖誕節見面，那時我們都沒有其他要事纏身。那次的會面沒發現任何錯誤，但真的要確定一切還需要更多時間。卡拉比回憶說：“證明大致看起來很完美。但它畢竟是很困難的證明，要徹底檢查大約需要一個月的時間。”

這段徹底檢查的時間結束時，卡拉比和尼倫柏格兩人都認可了。看來卡拉比猜想終於被我證明了，而且此後三十餘年，也沒發現任何足以改變這項論斷的疑問。如今，這個證明已被許多人用各種方法重複檢驗過許多次，很難想象其中還能藏有任何重大的瑕疵。

六維卡拉比 - 丘流形油畫作，圖片來源：清華大學丘成桐數學科學中心

03 卡拉比-丘流形登場

尋找鑽石的時候，幸運的話，你可能附帶找到其他的寶石。我在1977年發表的一篇兩頁論文裏，宣告完成了卡拉比猜想的證明。詳細的證明則發表在1978年的73頁論文中，在這篇文章裏，我附帶證明了另外五個相關的定理。總而言之，這些意外的收穫，其實源自我思索卡拉比猜想時的非常境遇：我先是想證明他的猜想是錯的，後來又掉頭，試圖證明它是對的。非常幸運，我所有努力都沒有白費，每一着錯步，每條看似不通的死路，後來都被我用上了。我號稱的“反例”（從卡拉比猜想導出的結論，我想證明它們是錯的），因爲卡拉比猜想的成立，結果連帶也是正確的。因此這些失敗的反例，事實上是正確的典例，很快都成了數學定理，其中有些還頗爲著名呢。

賽佛利猜想與這個應用範圍更廣的不等式是卡拉比證明最初的主要副產品，此後還有其他應用接踵而至。在思索卡拉比猜想的直接應用上，我可說是諸事順遂，在短期間內解決了六七個問題。事實上一旦你知道存在某個度規，就會順勢得到許多結果。例如你可以反過來導出流形的拓撲性質，並不需要知道度規的確切表式。然後，又可以運用這些性質去指認出流形的唯一特色。這就好像你不需要知道星系中衆星體的細節，就能辨識星系；或者，不需要知道整副牌的細節，就能推理出許多手中牌張的性質（牌數、大小、花色等）。

對我來說，這就是數學的神奇之處，比起鉅細靡遺的細節齊備之後才能做推論，這樣反而更能彰顯數學的威力。

見到我艱苦的努力終於獲得回報，或者看着他人繼續向我沒想到的路徑邁進，都讓我覺得心滿意足。但儘管擁有這些好運道，還是有個想法不時在心頭扯咬着我。在我內心深處，我很確定這項研究除了數學之外，在物理學中也一定有其意義，雖然我並不知道究竟爲何。就某個觀點而言，這個信念其實十分顯然，因爲在卡拉比猜想中求解的微分方程（黎奇曲率爲零的情況），基本上就是真空的愛因斯坦方程，對應到的是沒有背景能量或宇宙常數爲零的宇宙（目前，一般認爲宇宙常數是正值，和推動宇宙擴張的暗能量同義）。而卡拉比—丘流形就是愛因斯坦方程的解，就像單位圓是x2+y2=1的解一樣。

當然，描述卡拉比—丘空間比圓需要更多的方程式，而且方程式本身也複雜得多，但是基本想法是相同的。卡拉比—丘方程不但滿足愛因斯坦方程，而且形式格外優雅，至少我覺得有令人忘形之美。所以我認爲它在物理學中必定佔據着某個重要位置，只是不知道究竟在哪兒。

我能做的不多，只能不斷告訴我的物理博士後研究員以及物理友人，爲什麼我認爲卡拉比猜想以及從中出現的卡拉比—丘定理，也許對量子引力論很重要。主要的問題是我當時還不夠了解量子引力，無法親自將我的直覺付諸實踐。這個念頭經常出現在我腦海，但我往往只能在一旁枯坐，看看會有誰做出什麼成果。

大概是1984年相近的時間，普林斯頓高等研究院的物理學家史聰閔格與得州大學喜好數學的物理學家菲利普·坎德拉斯（PhilipCandelas），開始合作研究哪種六維流形契合弦論所提出的確切條件，他們知道內空間的流形必須是緊緻的（能從十維降到四維），並且曲率必須同時滿足愛因斯坦引力方程，以及弦論的對稱性條件。最後他們與另兩位合作者赫羅維茲（Gary Horowitz）與威滕的探索，走到了我在卡拉比猜想中證明存在的空間（雖然當時威滕是依據他自己的想法做到的）。

史聰閔格觀察說：“現代科學發展的優美之處，就是物理學家和數學家經常因不同的理由，卻得到相同的結構。物理學家有時走在數學家的前頭；有時候，則是數學家領先。這次的情況，是數學家拔得頭籌，他們比我們早理解其中的意義。”

儘管史聰閔格所言不虛，但是像我這樣的數學家，在一開始絲毫不知如何將卡拉比-丘流形和物理學連結起來的，也所在多有。我研究這些流形只是因它們很優美，也因爲這份懾人的美麗，讓我覺得物理學家一定用得着它，因爲其中藏着值得挖掘的祕密。但是最終，一切還是得靠物理學家自己去找到連結，才能在幾何學和物理學之間搭起橋樑。這類合作的美事，綻放出繁花似錦，至今不已。

至於如何建立連結的過程，本身又是另一段有趣的故事。“當時我瞭解的數學不多，不過通過理論，由流形該有的繞異羣，我和卡拉比—丘流形連結起來了。”史聰閔格解釋說：“我在圖書館中找到丘成桐的論文，但是大半都讀不懂，不過從我理解的那一小部分，我意識到這個流形正是我們需要的。”儘管閱讀我的論文或許不是個值得回憶的經驗，但大約二十年後，史聰閔格仍對《紐約時報》的記者提起，他第一次偶遇卡拉比猜想證明時的激動之情。當時爲了避免期待太高以致將來希望落空，史聰閔格先打電話給我，確定他對我文章的理解是正確的。我告訴他，他是對的。這一刻我領悟到，經過八年的守候，物理學家終於找到卡拉比—丘流形了。

因此，超對稱就是帶領物理學家進入這處晦澀的數學領域的原因。他們四人在1984年完成研究，隨即以預印本的論文形式，告知物理界同行這項結果，正式的論文則到隔年才發表。這篇論文創造了“卡拉比—丘空間”這個名詞，並向物理學界介紹了這個奇特的六維領域。

卡拉比說：“在這篇1985年的論文發表之前，我從未想過這個流形會有物理意義，它本來純粹只有幾何學上的意義。”但這篇論文改變了一切，頓時就將這個數學結構送到理論物理學的核心，這篇文章也讓背後的兩位數學家受到意料之外的矚目。卡拉比回憶說：“我們被擺到媒體版圖上，這樣的事總令人受寵若驚，不斷有人談到卡拉比—丘空間，讓我們徒增虛名，但這些其實不是我們的研究結果。”

至少有一段時間，卡拉比和我的研究成爲物理學界的時尚風潮，而它的“媒體版圖”甚至延伸到更廣的領域。紐約有一出非主流的百老匯劇叫作《卡拉比—丘》; “多普勒效應”樂團（DopplerEffekt）有一張電子合成流行音樂專輯，名字叫作《卡拉比—丘空間》；意大利畫家馬丁（Francesco Martin）畫了一幅名爲《卡拉比—丘蒙娜麗莎》的畫；還有伍迪·艾倫在《紐約客》的短篇故事中帶到的笑點（“我的榮幸！”她說，然後帶着嬌媚的微笑蜷縮到一個卡拉比—丘空間中）。

對如此深奧的概念來說，這些真是令人意外的結果，因爲這些流形不但難以用文字形容，更難以用視覺表現。就像某個物理學家說的，一個六維的空間“比我能自由自在想象的空間還多了三維”

。事實上，真正的圖像還要更復雜，因爲在這些空間中，還有許多扭曲交纏的多維洞孔，洞孔的數目也許不多，但也可能像上等的瑞士起司一樣，多達五百多個。

參考文獻：

[1] Yau, Shing-Tung. “On the Ricci Curvature of a Compact Kähler Manifold and the Complex Monge-Ampère Equation, I.” Communications on Pure and Applied Mathematics, 31(3), 1978: 339–411.https://doi.org/10.1002/cpa.3160310304

[2] 丘成桐、史蒂夫·納迪斯：《我的幾何人生：丘成桐自傳》，譯林出版社，2021年。

[3] Candelas, Philip, Gary T. Horowitz, Andrew Strominger, and Edward Witten. “Vacuum Configurations for Superstrings.” Nuclear Physics B, 258(1), 1985: 46–74.https://doi.org/10.1016/0550-3213(85)90602-9