北京時間2026年7月23日，四年一屆的國際數學家大會正式開幕，素有“數學界諾貝爾獎”之稱的菲爾茲獎公佈獲獎名單，中國數學家鄧煜和王虹雙雙獲獎。

2026年菲爾茲獎頒獎現場

四位菲爾茲獎獲獎人（從左到右）

鄧煜、John Pardon、Jacob Tsimerman、王虹

這是菲爾茲獎設立90年以來，第一次有中國數學家獲獎；一屆同時誕生兩位中國得主，更是前所未有的盛況。

那麼，菲爾茲獎是什麼，它爲何能成爲數學界的頂級榮譽？兩位中國數學家又取得了哪些開創性突破，斬獲這一重磅大獎？

鄧煜與王虹（圖片來源：北京國際數學研究中心）

青年數學家的最高榮譽

對於數學界而言，菲爾茲獎（Fields Medal）有着不可替代的至高地位。1932年，加拿大數學家約翰・查爾斯・菲爾茲（John Charles Fields）倡議設立了這一獎項，旨在表彰取得傑出貢獻的青年數學家並促進全球數學界的團結。

菲爾茲畫像（圖片來源：Wikipedia）

歷經數十年的完善，菲爾茨獎如今由國際數學聯盟（IMU）組織評審，用以表彰青年數學家推動學科發展的重大原創研究。獎項每4年評選一輪，篩選標準嚴苛，具有極高的學術公信力。單屆獲獎人數一般爲 2 至 4 人，每位獲獎者可獲得 15000 加拿大元獎金。

菲爾茲獎最大的特點是對年齡的嚴格約束：獲獎人必須在頒獎當年的1月1日前未滿40週歲。即使是證明了費馬大定理、震驚數學界的安德魯·懷爾斯，因爲年齡超過了40歲，仍然與菲爾茲獎失之交臂。

衆所周知，基礎自然科學領域的頂級獎項——諾貝爾獎唯獨沒有設立數學獎項。因此，擁有極高學界認可度的菲爾茲獎，如今便成爲了青年數學家的最高榮譽。

菲爾茲獎的獎章，正面爲阿基米德畫像

所以，王虹和鄧煜做出了什麼突破，能夠獲得數學界的最高認可，摘得菲爾茲獎？

（點擊觀看視頻：“菲爾茲獎”獎章上，刻的不是菲爾茲？）

轉一根針，看懂掛谷猜想

先來看王虹的工作，她和合作者一同證明了當今數學界最頂尖的難題之一——三維掛谷猜想。

1917年，日本數學家掛谷宗一提出了一個有趣的問題，大意如下：在平面上，讓一根長度爲1的針旋轉360度，圍成的封閉區域的最小面積是多少？

你可能第一時間想到的是把針原地旋轉一圈，這樣掃過的圖案是一個圓，面積大約是π/4。但如果你一邊移動這根針、一邊旋轉它，掃過的面積就可能會變小，比如下圖中的等邊三角形和“三葉形”，面積都比圓更小：

針掃出不同圖形的面積

針掃出三葉形的示意圖

起初，掛谷本人以爲三葉形就是掃過面積最小的圖形。然而，數學家貝西科維奇（Besicovitch）在兩年後給出了一個驚人的證明：你可以通過不斷把針平移、重疊，讓掃過的面積要多小有多小，甚至無限接近於 0！

爲了更直觀理解，我們以針掃出的等邊三角形爲例。將三角形拆成兩個直角三角形，平移後交叉擺放。在這類剪切和平移操作下，針掃過的角度仍然是360°，但新的圖形面積明顯要比等邊三角形更小。

我們可以用這種切割的方法，將三角形分爲4份、8份、16份……然後重疊起來，使得覆蓋面積越來越低。如果三角形的分割次數接近於無窮次，那麼數學上可以證明，覆蓋的面積就接近於0。

結合圖形構造算法和嚴格的數學分析，貝西科維奇最終證明，掛谷猜想中的圖形面積可以“擠壓”無限趨近於0。在這一結論基礎上，數學家發現，不僅是在二維的平面上，在三維甚至任意n維的空間中，包含各個方向的單位線段的體積（更高維在數學上稱爲測度）同樣可以逼近於零。

看到這你可能會想，既然如此，掛谷當年提出的問題不是已經完美解決了嗎？然而，數學家還不滿足於此。包含各個方向單位線段的集合稱爲掛谷集，雖然這個集合的測度可以無窮小，但數學家還想知道它的“密集程度”。

掛谷集構造示意圖： 通過將三角形切割、平移並巧妙地重疊拼接，可以在保證“針”依然能轉向任意方向的同時，讓圖形的總面積急劇縮小

想象一下你在鋪一張網，網線由沒有體積的線段組成，所以這張網佔用的總體積是0。但是從“密集程度”來看，只要網交疊得足夠密，那麼空間中的每一個角落幾乎都被網線穿過了，彷彿又佔有了一定的體積。所以說，即使一個圖形的體積或者測度爲0，但它仍然可以具有一定的“密集程度”，具有某種“空間佔用能力”。

如何評判這種“密集程度”呢？數學家提出了分形維數的概念。我們平時理解的維數很簡單：一條線就是一維的，平面是二維的，正方體是三維的，這叫做拓撲維數。但對於一些特殊的分形圖形，拓撲維數並不能很好描述它的性質，分形維數也就由此提出：不再測量圖形佔了多少絕對空間，而是測量圖形隨着尺度縮小，其結構細節充滿空間的速率。

具體的分形維數計算方法這裏就不詳細展開了，在這裏舉一個簡單的說明：有一種名爲謝爾賓斯基三角的圖形，看上去是二維的，但是在無窮次迭代變換下，它的圖形面積最終會無限接近於0；它比普通的線更復雜，但又無法填滿整個二維平面。如果按照數學家的定義計算，它的分形維數約爲1.59。

三種特殊圖形的分形維數

從左到右：謝爾賓斯基三角形、門格海綿、曼德博集

三維掛谷猜想的證明

在分形維數等概念的發展下，數學家提出了掛谷猜想的現代版本：任何n維掛谷集的兩種分形維數——豪斯多夫維數（Hausdorff Dimension）和閔可夫斯基維數（Minkowski Dimension）都必須嚴格等於 n。

這個最新的猜想斷言，哪怕掛谷集的體積（測度）可以壓縮到趨近於零，它的幾何結構也必然極其緊密地貼合在一起，以至於在分形維數的意義下，它絕對無法被壓縮到任何低於n維的幾何空間裏。

對於這一版本的掛谷猜想，二維情況早在1971年就已經證明，然而三維情況卻長時間沒能解決，成爲了數學界最頂尖的難題之一。

王虹和合作者約書亞·扎爾（Joshua Zahl）正是對於三維情況的掛谷猜想做出了歷史性的突破。傳統做法是把重疊的針看作一條條無限細的“小管道”，試圖計算這些管道交織的體積，結果複雜到令人絕望。她們引入了一種全新視角，把這些複雜交織的管道在不同尺度下拆解成一粒粒“微小的顆粒”，並證明：無論你怎麼精妙地安排這些針的交叉方式，空間裏的任何一點，都不可能被過度擠壓和重疊。這種重疊限制，一舉鎖死住了圖形退化的上限，證明了三維掛谷猜想。

證明中的“管道”

2022-2025年，王虹和扎爾分三篇系列論文逐步完成了整套證明，其中2025年發表的完整證明論文長達127頁，一經上線便轟動了全球數學界。

王虹、扎爾證明三維掛谷猜想的預印本論文基本信息

三維掛谷猜想的證明，正是王虹能夠斬獲菲爾茲獎的核心代表作。掛谷猜想推動了幾何測度論這一分支的發展，同時與數學中調和分析領域的多個核心問題密切相關，是探索這些難題的重要基礎。調和分析在信號處理、圖像壓縮等現代技術中發揮着重要作用，我們日常觀看的高清視頻、清晰圖像背後，正是調和分析中的傅里葉分析等數學工具，爲高效的數據壓縮與還原提供了重要支撐。

從牛頓到玻爾茲曼

王虹證明了一個數十年懸而未決的猜想，而鄧煜的成果同樣和一個古老的數學問題有關。

1900年，爲了推動20世紀數學發展，數學家大衛·希爾伯特在國際數學家大會上提出了23個核心數學難題，後人將其統稱爲“希爾伯特問題”。一百多年來，只有少部分問題得到了圓滿解決，大多數問題依舊沒能攻克。

希爾伯特（圖片來源：Wikipedia）

鄧煜的主要研究方向主要與希爾伯特第六問題有關，這一問題的核心主題是物理學的數學公理化。19世紀末，人類已經深刻理解了牛頓開創的經典力學體系，能夠用牛頓力學描述單個微觀粒子的碰撞運動。同時，統計物理也在逐步興起，用來刻畫海量粒子集體表現出的宏觀特性。物理學家玻爾茲曼寫下了描述大量氣體分子統計分佈演化的玻爾茲曼方程，搭建起連接微觀與宏觀的中間橋樑。

牛頓力學方程（左）和玻爾茲曼方程（右）

然而，一個問題很快出現：如何從經典牛頓力學出發，推導出玻爾茲曼方程？

對於單獨粒子的碰撞規律，我們可以直接應用經典力學方程，但是當體系中粒子的數量達到了一個天文數字，數學家始終找不到一套自洽、嚴謹的數學框架來完成從微觀到宏觀規律的數學推導。

更嚴重的問題是，微觀層面，牛頓力學方程在時間上是可逆的——兩個粒子相撞，即使倒放也符合物理規律。然而，宏觀世界的現象有時間“箭頭”，並不可逆——比如干冰氣化後，二氧化碳會自發充滿整個房間，絕不可能自動重新聚攏變回一塊乾冰。

在空間內自由運動的氣體分子模型

由此引申出希爾伯特第六問題最核心的追問：微觀的可逆方程在粒子數量趨於無窮時，一定會演變成宏觀不可逆的統計方程？

鄧煜與合作者扎赫爾・哈尼（Zaher Hani）、馬驍等人正是在這個方向上取得了歷史性突破。他們選取稀薄硬球氣體系統作爲研究模型——把每個氣體分子想象成一個個微小的剛性檯球，在容器中不斷碰撞、反彈。通過發明全新的組合與分析工具，他們先在 2024 年一篇長達164頁的論文中，首次在長時間尺度上嚴格證明：當粒子密度足夠稀薄時，硬球系統的統計行爲會精確收斂到玻爾茲曼方程所描述的演化規律。

在此基礎上，三人還在2025年發佈第二篇總結性論文，將整套推導鏈條進一步延伸：以介觀的玻爾茲曼方程爲中間媒介，繼續取宏觀極限，嚴格推導出描述可壓縮流體的歐拉方程、不可壓縮條件下的納維-斯托克斯-傅里葉方程，完整實現了希爾伯特第六問題狹義分支的全部目標。

鄧煜和合作者2025年發表的預印本論文基本信息

正是依靠他們的工作，從經典粒子系統到玻爾茲曼方程、再到宏觀物理系統之間長期存在的嚴格數學鴻溝，在一個重要方向上取得了突破，同時還爲研究其他複雜粒子系統提供了全新的工具。這項成果也被公認爲125年來希爾伯特第六問題方向上最重大的進展之一。

（點擊觀看視頻：2026菲爾茲獎得主鄧煜：爲跨越125年的數學難題，補上一道缺口）

里程碑式的成就

鄧煜和王虹成爲首次獲得菲爾茲獎的中國數學家，其中王虹還是第三位獲此榮譽的女性，二人的突破對中國數學發展具備里程碑式的意義。更令人津津樂道的是，王虹和鄧煜同在2007年被北大錄取，其中王虹考入地球物理系，大二才轉入數學系；鄧煜則在高中時期就奪得了國際數學奧林匹克競賽（IMO）金牌，保送進入北大。

不同的起點，不同的道路，鄧煜和王虹都在各自的學術生涯中登上了最高峯。相信數學界仍然有更多未知的風景，等待着更多中國數學家去發現。

文字來源：科學大院

視頻來源：科普中國