兩條平行線竟然可以相交？

按照我們中學學習的知識來看，這似乎這是不可能的。但是19世紀的一位俄國數學家羅巴切夫斯基，卻堅持認爲平行線是能相交。

【羅巴切夫斯基】

面對嘲笑和質疑，他依舊保持這個看法，但最終還是鬱鬱而終。

不過出乎意料的是，在他去世12年後，他“平行線可以相交”的理論卻被證實了，而羅巴切夫斯基也被稱爲“幾何學的哥白尼”。

他是怎麼發現這個定理的？平行線究竟什麼時候會相交？

羅巴切夫斯基的發現

1792年12月的第一天，羅巴切夫斯基出生在俄國喀山。

【羅巴切夫斯基】

因爲他的父親是一位建築大師，而他的母親也是一位知識儲備豐富的教師，所以羅巴切夫斯基的家庭條件比較富足，並且他也擁有良好的受教育環境。

父親對他寄予厚望，帶他學習了繪畫、音樂、馬術、外語言等各種課程，但似乎是因爲天生就對數字敏感，所有的課程裏，羅巴切夫斯基最喜歡的還是數學。

【羅巴切夫斯基】

而羅巴切夫斯基也確實在數學方面格外有天賦。

各種數學概念定理，他總是過目不忘，並且能迅速理解，甚至還能自己從觀察分析中，發現和證明那些自己原本不知道的理論。

有這樣聰明且勤奮孩子，名聲自然是埋不住的，很快羅巴切夫斯基的“天才”稱號就傳遍了喀山。

【現在的喀山大學】

喀山大學一位名叫西蒙諾夫的數學教授聽說後，便邀請才15歲的羅巴切夫斯基到喀山大學聽講學習。

在喀山大學，羅巴切夫斯基參加了各種競賽和研究，展示出的數學能力讓西蒙諾夫讚歎不已，而羅巴切夫斯基也在這裏認識了不少後來數學界的大咖。

在這樣學習氛圍中，羅巴切夫斯基也逐漸開始對歐幾里得幾何中一個難題——平行公理產生了很大的興趣。

【歐幾里得幾何原本】

平行線也能相交

歐幾里得幾何的第5條定理，也叫“平行公理”，定義是：如果兩條直線都和第三條直線相交，並且在同一邊的內角之和小於兩個直角和，則這兩條直線在這一邊必定相交。

而通過這一條定理可以推導出另一個命題：

通過一個不在直線上的點，有且僅有1條不與該直線相交的直線，就是它的平行線。

【歐幾里得幾何的“平行公理”】

這一條定理看起來非常簡單，甚至被認爲是“常識”一樣的規則，但要想用什麼辦法來進行論證時，大家卻又發現實在沒什麼辦法。

羅巴切夫斯基從16歲就開始了對這個難題的探索。

在經過多次嘗試後，他決定利用“反證法”來論證“平行定理”，然而沒想到的是，這一下反而“推翻”平行定理！

他的思路是這樣的，先假設通過那一個“點”，能作出至少2條和那“直線”平行的直線。

【羅巴切夫斯基】

在根據這個假設，不斷進行新的命題推理，雖然這些命題看起來稀奇古怪，甚至和原來的定理完全脫離，但這些命題之間的邏輯不管是正推還是反推，都是自洽的。

“平行線可以相交，而相交角的角度隨着距離的增加而變小，最後無限趨近於零。”

“三角形的內角和可以大於180°，且這些角的角度，會隨着三角形邊長的增加而趨向於零。”

“不存在不同大小的相似三角形，只有全等三角形。”

“圓的周長與直徑的比值不是固定的常數，而是隨着半徑增加逐漸減小，最終也趨向於零。”

……

【數學幾何的學習】

在數學中，如果一個假設是錯誤的，那麼基於這個假設推導出的定理，相互之間必定會出現矛盾，這就說明羅巴切夫斯基的這套理論是沒有錯誤的。

而這套理論，後來被稱爲“羅氏幾何”，也叫“非歐幾何”。

柳暗花明

但是羅巴切夫斯基的這些理論在當時的人看來，簡直就是胡言亂語，因爲他說的一切都打破了人們的常規認知，並且他的理論還都是抽象的概念。

【非歐幾何】

所以羅巴切夫斯基的非歐幾何論文在1826年發表後，立刻爲自己招來了各種質疑和嘲笑。

因爲這雖然是數學史上的一次重大突破，但那時候誰也不認爲羅巴切夫斯基是對的。

在這種輿論中，數學界的中流砥柱高斯都不敢站出來，儘管他在羅巴切夫斯基還沒接觸過數學的時候，心中也已經有過一些非歐幾何的初步構想。

【高斯】

這邊羅巴切夫斯基遇到了前所未有的困難，但是他卻一直不肯放棄，始終堅持自己的“羅氏幾何”沒有錯，一直到1856年鬱鬱而終。

不過人類文明總會進步，嘲笑也不會一直伴隨。

在羅巴切夫斯基去世後，也有數學家開始重視“羅氏幾何”，並且開始對其進行論證。

【貝特拉米】

1868年，也就是羅巴切夫斯基去世的第12年，意大利數學家貝特拉米以一篇名爲《非歐幾何解釋的嘗試》的論文，證明了“羅氏幾何”可以在歐氏空間的曲面上實現。

也可以說，非歐幾何和歐幾里得幾何是相輔相成的，都不存在矛盾。

經過後來的研究論證，“羅氏幾何”可以應用在諸如“黑洞”這種彎曲空間的研究中，還和現代物理學有着密切的聯繫。

【“羅氏幾何”和“歐氏幾何（歐幾里得幾何）”】

而羅巴切夫斯基也真真切切成爲了的“幾何學中的哥白尼”，爲數學的研究開拓了新的天地。

參考資料：

【1】羅巴切夫斯基·中基網

【2】科學巨人不爲人知的B面·人民資訊