20世紀物理學的星空羣星璀璨，而馬克斯·玻恩（Max Born）的名字或許不如愛因斯坦或玻爾那般家喻戶曉，但他提出的“玻恩規則”卻成爲量子力學最堅韌的骨架。

1926年，當他在哥廷根大學寫下“波函數模平方即概率密度”時，不僅解答了薛定諤方程的現實意義，更徹底動搖了牛頓力學的決定論基石。玻恩的洞見在於：量子世界本質是概率的，而非確定的——電子沒有預設的軌道，只有概率的分佈；測量不是揭示預設狀態，而是概率性的隨機事件。

這一簡潔卻極具顛覆性的詮釋，徹底改變了人類對微觀世界本質的理解，將概率性提升爲量子理論最根本的特徵。玻恩的概率詮釋並非憑空產生，它誕生於量子力學初期矩陣力學與波動力學激烈的思維碰撞中，是玻恩對量子現象本質長期沉思的結晶。它的提出，不僅解決了波動力學的詮釋危機，更深刻地統一了量子力學的不同表述形式，最終成爲整個理論體系不可動搖的基石，彰顯了玻恩作爲概率詮釋的奠基人的歷史地位。

圖1 馬克斯·玻恩（Max Born）的肖像圖

（圖片來源：Wikipedia）

01 從經典到量子——玻恩規則的歷史起點

19世紀末到20世紀初，經典物理學正處於鼎盛時期。牛頓力學和麥克斯韋電磁理論構建了一座宏偉的科學大廈，似乎能解釋一切自然現象。然而，隨着實驗技術的進步，越來越多的結果無法用經典理論解釋。普朗克在1900年提出量子假設以解釋黑體輻射，愛因斯坦在1905年提出光量子理論解釋光電效應，這些工作揭開了量子論的序幕，但也暴露了經典物理的深層危機。

然而，真正的難題在於：微觀粒子的運動狀態究竟如何被描述？1913年，玻爾提出的原子模型在解釋氫原子光譜上取得成功，但在多電子/原子和複雜體系中顯得力不從心。1925年，海森堡創立了矩陣力學，薛定諤則提出波動力學。兩種理論雖然在數學上被薛定諤證明等價，但在物理意義上的解釋分歧依然存在，尤其是波函數的含義問題懸而未決。

正是在這迷霧重重的時刻，身處哥廷根大學理論物理研究所的玻恩，從解決一個具體的物理難題中找到了突破口——電子散射問題。當一束電子射向原子靶時，它們會以不同的角度被散射出去。經典物理可以計算確定軌跡的偏轉，但在量子領域，粒子表現出波動性，其散射行爲需要用波函數描述。玻恩在仔細分析散射過程的理論計算和實驗數據時，做出了劃時代的洞察：波函數 本身並不描述粒子位置，但其模的平方（），在給定的空間位置和時刻，精確地給出了在該處發現一個粒子的概率密度！

1926年6月，玻恩在論文《Zur Quantenmechanik der Stossvorgänge》一文中首次明確提出了這一觀點，並在同年晚些時候的文章中將其推廣到一般的量子態測量。這個簡潔而深刻的規則（計算波函數模平方以獲得概率）後來被稱爲“玻恩規則”。這是量子力學發展史上一個決定性的時刻，它爲薛定諤方程的解賦予了清晰、可操作的物理意義，但也因其核心引入的根本隨機性，引發了物理學界最激烈的哲學爭論。

然而，這一突破引發了物理學界的激烈爭論。愛因斯坦在1926年給玻恩的信中寫道：“量子力學確實令人印象深刻，但它讓我感到不安……上帝不會擲骰子。”玻恩則是堅定地回覆：“親愛的愛因斯坦，請別指揮上帝該怎麼做。”這段往來不僅展現了兩位學術巨匠的學術鋒芒，也透露出那個年代物理學家們對於概率與確定性的激烈討論。

圖2 玻恩提出概率詮釋的原始論文

（圖片來源：參考文獻[1]）

02 量子世界的語言——玻恩規則的核心內涵

經典物理學的圖景清晰而確定：如果已知初始條件和作用力，就可以完全預測未來狀態。但量子世界打破了這種確定性。玻恩規則指出，波函數的模平方代表了粒子在給定位置與時間被發現的概率密度。

這看似簡單的一句話，實際上是量子力學數學形式得以物理化的關鍵。它告訴我們：

概率的目錄：波函數 並非可觀測的物理量，而是“概率的目錄”。例如氫原子中的電子，其波函數描繪了核周圍的概率雲，而非行星般的固定軌道；

測量的本質：單次量子測量的結果具有隨機性，但大量重複實驗的統計分佈必然收斂於的預測——如同賭場無法預知單次輪盤結果，卻可掌控長期收益；

概率的疊加性：雙縫干涉實驗中，單個電子的落點不可預測，但大量電子形成的干涉條紋正是的空間分佈體現。

這一解釋很好地回答了雙縫干涉實驗中的謎團——當單個電子或光子通過雙縫時，其落點是隨機的，但經過足夠多次測量，干涉條紋會自然顯現。這是因爲每個粒子都有一個由波函數決定的概率分佈，而玻恩規則正是計算這一分佈的工具。需要指出的是，當時的雙縫干涉實驗多集中於光子或電子束的整體效應，單電子的逐一干涉是在後來的技術發展中才得以直接觀測。

玻恩規則不僅統一了量子力學的數學和物理意義，還使得量子理論能夠被直接檢驗和應用。它讓量子力學不再是一套抽象的數學遊戲，而成爲解釋和預測實驗現象的現實理論。

圖3 雙縫干涉實驗的示意圖

（圖片來源：Wikipedia）

03 玻恩規則的確立——實驗驗證與深遠影響

儘管遭遇哲學上的巨大爭議，玻恩概率詮釋的強大生命力，最終源於其無與倫比的解釋和預言實驗現象的能力，以及隨之而來的堅實實驗驗證。

散射實驗的直接驗證：玻恩最初提出概率詮釋就是爲了解釋散射問題。很快，基於玻恩規則的量子力學對粒子散射角分佈的精確計算，與盧瑟福實驗以及後來的高能物理實驗數據完美吻合。散射粒子在探測器上的分佈，精確地遵循着給出的概率預言。這是對玻恩詮釋最直接、最有力的支持。

原子光譜與躍遷概率：矩陣力學和波動力學都能計算原子能級間躍遷的概率，並且採用玻恩規則得到的理論結果，與觀測到的光譜線相對強度高度一致。概率詮釋爲理解原子光譜提供了自然的基礎。

電子衍射與干涉：當電子束通過晶體或雙縫時，會產生清晰的衍射或干涉圖樣。這些圖樣無法用經典粒子軌跡解釋，卻完美符合將電子波函數疊加並計算所得到的空間概率分佈。這強有力地證明了電子等粒子的行爲受概率幅支配。

隨着實驗證據的不斷累積和量子力學在各個領域的巨大成功，玻恩的概率詮釋逐漸被絕大多數物理學家所接受，並被寫入教科書，成爲學習量子力學的起點。任何量子系統的狀態演化由薛定諤方程描述，而任何測量結果的預言則必然通過玻恩規則給出。概率性，被確立爲量子世界最本質、不可還原的特徵。

結語

馬克斯·玻恩提出的概率詮釋，是量子理論皇冠上最璀璨的明珠，是賦予量子力學精密數學框架以生命的深邃“靈魂”。在經典決定論觀念根深蒂固的時代，玻恩以非凡的勇氣和深刻的洞察力，揭示了微觀世界內稟的概率本質。他通過這一簡潔卻威力無窮的規則，將抽象的波函數與現實世界的測量結果——概率，牢固地聯繫起來。

鑑於概率詮釋對量子力學乃至整個現代物理學的革命性貢獻，馬克斯·玻恩於1954年被授予諾貝爾物理學獎。獲獎理由是他在量子力學領域的基礎性研究，特別是“對波函數的統計詮釋”。而他的概率詮釋，其價值遠超一枚獎章。它徹底革新了人類的自然觀，將概率和不確定性置於物理實在的核心。

圖4 馬克斯·玻恩於1954年被授予諾貝爾物理學獎

（圖片來源：Nobel Prize的官網）

然而，玻恩對量子力學的塑造，並不僅限於概率的語言。在他與學生海森堡以及數學物理學家約旦的合作中，一套全新的數學體系誕生——矩陣力學。這不僅是量子力學最早的系統化形式之一，也爲概率詮釋的提出奠定了堅實基礎。那麼，玻恩是如何與海森堡攜手，把一個尚未成形的物理直覺鍛造成量子理論的骨架？這段科學史上的傳奇合作，正是我們將在下一篇中探尋的故事。

參考文獻：

[1] Born M. Quantenmechanik der stoßvorgänge[J]. Zeitschrift für physik, 1926, 38(11): 803-827.

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[4] Born M, Jordan P. Zur quantenmechanik[J]. Zeitschrift für Physik, 1925, 34(1): 858-888.

[5] Born, Max. 1969. The Born–Einstein Letters: Friendship, Politics and Physics in Uncertain Times. London: Macmillan.

[6] B Born M. Statistical interpretation of quantum mechanics[J]. Science, 1955, 122(3172): 675-679.

出品：科普中國

作者：欒春陽、王雨桐（清華大學物理系博士）

監製：中國科普博覽