20世紀初，物理學正處在一場危機之中。牛頓力學和麥克斯韋電磁學曾在宏觀世界縱橫無敵，卻在原子內部顯得捉襟見肘。電子爲何不會因輻射而跌入原子核？原子光譜爲何呈現神祕的離散線條？經典理論對此束手無策。玻爾的原子模型雖然取得了一些成功，卻仍帶有半經典色彩——它依賴人爲的“量子化條件”，缺乏統一而自洽的數學框架。物理學迫切需要一次突破。

在這片科學的迷霧中，一個年輕人的身影逐漸顯現。他年僅二十四歲，卻已決心徹底拋棄不可觀測的電子軌道，開創一種全新的理論框架。他就是沃納·海森堡（Werner Heisenberg）。在1925年，他提出了矩陣力學——量子力學的第一個完整數學形式。這一突破，不僅解開了原子物理的困境，也宣告量子理論進入了成熟階段。

圖1 沃納·海森堡在1933年的個人照片

（圖片來源：Wikipedia）

01 從維爾茨堡少年到赫爾戈蘭島——矩陣力學的誕生

1901年，海森堡出生於德國維爾茨堡。他的父親是一名古典語言教師，母親也出身學術家庭。自小耳濡目染，他對數學與自然規律展現出驚人的敏感。少年時，他常常沉迷於高斯的《算術研究》和康托爾的集合論。課堂上，他能用複雜的推導解決問題，以至於老師懷疑他“作弊”。

1920年，海森堡進入慕尼黑大學，師從阿諾德·索末菲。索末菲學派強調數學的精確與物理的直覺，培養了大批未來的物理巨匠。海森堡在此接受了嚴格訓練，並逐漸將研究興趣轉向原子光譜與能級問題。1922年，他又來到哥廷根，在玻恩、泡利的學派中活躍。至此，他站在了當時量子理論研究的最前沿。

1925年夏天，因嚴重的花粉過敏，海森堡前往北海的赫爾戈蘭島療養。小島孤懸於海，幾乎與世隔絕。海浪與海風陪伴着他徹夜思索，遠離書籍和資料的束縛，他決定走一條徹底不同的道路——既然電子軌道無法觀測，那就完全捨棄它。理論必須只依賴那些可直接測量的量，比如光譜的頻率與強度。

在孤燈下，他把能級躍遷的數據排成二維表格，定義了一種全新的運算規則。這種陌生的方法，居然完美再現實驗結果。回到哥廷根，他把成果呈給玻恩。玻恩立刻驚呼，這正是“矩陣”的形式。由此，矩陣力學應運而生。

1925年9月，海森堡發表了《關於運動學與力學關係的量子論重新詮釋》（參考文獻[1]）。論文極爲艱澀，當時幾乎無人能看懂。連泡利都調侃說：“我完全不知道你寫了些什麼。” 但玻恩看到了它的潛力，很快與海森堡、約爾當合作，發表了更系統的“B-H-J”論文（參考文獻[2]）。這篇文章首次完整建立了矩陣力學的結構，量子力學終於有了堅實的數學支柱。

圖2 海森堡於1925年發表的矩陣力學原始論文

（圖片來源：參考文獻[1]）

02 自旋的謎題——從假設到數學化

就在矩陣力學初露鋒芒的同一時期，另一個困擾物理學界的謎題浮出水面。實驗表明，原子光譜中某些能級會出現“雙重態”現象——即能級分裂爲兩條非常接近的譜線。舊量子論和矩陣力學都無法合理解釋這一細節，這種“多出來的兩條譜線”讓人百思不得其解。

1925年秋天，兩位年輕的荷蘭物理學家——烏倫貝克（George Uhlenbeck）和古茲米特（Samuel Goudsmit）提出了一個大膽的想法：也許電子本身像地球一樣在自轉，從而帶來一種內稟的角動量。

這個設想可以自然解釋譜線的雙重性。可是，問題接踵而來：如果電子真的在自轉，那麼它的表面速度幾乎要超過光速！這一點顯然與相對論不符。

圖3 “自旋”的藝術示意圖

（圖片來源：Wikipedia）

當時，許多物理學家對此假設嗤之以鼻，甚至泡利也一度譏諷道：“這是我聽過的最愚蠢的主意。” 但事實很快證明，年輕人直覺中的確隱藏着真理。

1927年，泡利自己提出了著名的二維矩陣（後來被稱爲“泡利矩陣”），它爲自旋提供了精確的數學描述：自旋並不是電子真的在空間裏“轉動”，而是一種內稟的量子屬性，用2×2矩陣就可以優雅地表達。這一突破不僅挽救了烏倫貝克和古茲米特的假設，也讓電子自旋從“異想天開”變成了嚴肅的物理概念。

在這一過程中，海森堡發揮了關鍵作用。他敏銳地意識到，自旋並不是孤立的，而應當與矩陣力學的框架統一起來。他把自旋自由度納入矩陣算符的體系，使得量子躍遷、能級分裂等問題能夠自然得到解釋。這種整合讓“電子自旋”從一個孤立的假設，變成了量子力學的有機組成部分。

自旋的引入最終取得了輝煌成果：它不僅解釋了光譜的“二重性”之謎，還爲後來的量子場論、凝聚態物理和固體能帶理論奠定了理論基礎。今天，人們已經無法想象沒有自旋的量子物理世界，而這一切，都可以追溯到1920年代那場年輕物理學家們的靈感碰撞。

03 海森堡所建造的“矩陣王國”的意義與遺產

矩陣力學的問世，被許多人視爲物理學的一次“思想地震”。它不僅是一套新的計算工具，更像是打開了一扇大門，把物理學帶進了一個完全陌生的世界。

1920年代中期，學界對海森堡的工作反應各不相同。薛定諤看到矩陣力學時，坦言自己“完全無法忍受這種醜陋的數學”，於是轉身提出了波動力學。相比之下，泡利雖然嘴上不饒人，但在內心卻認可海森堡的才華，並在隨後的研究中不斷推動其發展。至於玻恩，他是最早理解矩陣力學真正潛力的人，他稱讚海森堡的成就是“一種全新的物理語言”。這種不同的聲音本身，就映照出矩陣力學的革命性。

隨着時間推移，矩陣力學的力量逐漸顯現。它不僅解釋了氫原子的能級結構，還在複雜光譜和原子躍遷的計算中展現出獨特優勢。年輕的狄拉克在閱讀“B-H-J”論文後，深受啓發，進而發展出更一般化的算符形式，把矩陣力學和波動力學統一在更高層次。可以說，沒有海森堡的“矩陣王國”，就沒有狄拉克的《量子力學原理》。

圖4 玻恩、海森堡和約爾當合作發展矩陣力學的“B-H-J”論文

（圖片來源：參考文獻[2]）

1932年，諾貝爾委員會終於把物理學獎授予海森堡，以表彰他“創立量子力學並應用於氫原子理論”。那一刻，這位三十出頭的年輕人站在斯德哥爾摩領獎臺上，成爲歐洲學術界最耀眼的明星。人們甚至調侃說：“量子力學的王國裏有兩座宮殿——一個是薛定諤的波動殿堂，一個是海森堡的矩陣城堡。”

圖5 海森堡於1932年獲得諾貝爾物理學獎

（圖片來源：參考文獻[6]）

更重要的是，矩陣力學留下的遺產遠不止於當年的爭鳴。它奠定了量子力學的“語言”，讓算符、非對易關係、本徵值問題，成爲後來所有物理學家的日常工具。今天，無論是量子計算機中的量子門，還是凝聚態物理裏的能帶理論，甚至是高能物理中的量子場論，都依然在使用海森堡當年開創的數學語彙。

因此，矩陣力學不僅是1920年代的輝煌，它更像是一條暗流，貫穿了整個20世紀物理學的發展。它讓人們認識到，數學的抽象不僅能解釋自然，更能創造出理解自然的新方式。而這一切，源自1925年那個年輕人，在北海孤島上的孤獨思索。

結語

沃納·海森堡憑藉矩陣力學，徹底改變了人類對自然的理解。他以驚人的直覺和數學創造力，爲微觀世界開闢了全新天地。矩陣力學不僅解決了舊量子論的困境，還塑造了量子力學的基本語言，成爲現代物理大廈的基石。

然而，海森堡並未因此停下腳步。他很快意識到，量子世界的真正挑戰並不僅僅在於構建一個新的數學框架，而在於回答一個更尖銳的問題——在微觀世界裏，我們究竟能知道多少？

1927年，他提出了一條震撼人心的定律——不確定性原理。它不再只是數學上的創新，而是直指人類認知的極限。若說矩陣力學建立了量子力學的“王國”，那麼不確定性原理就是這片王國深處的祕密法則，它宣告：自然界本身，在最微小的層面，就存在着無法迴避的模糊性。

當海森堡把這一定律寫進論文時，整個物理學界都爲之震動。而這一故事，也纔剛剛開始。

參考文獻：

[1] Heisenberg W. Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen[M]//Original Scientific Papers Wissenschaftliche Originalarbeiten. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 1985: 382-396.

[2] Born M, Heisenberg W, Jordan P. Zur quantenmechanik. II[J]. Zeitschrift für Physik, 1926, 35(8): 557-615.

[3] Goudsmit S, Uhlenbeck G E. Spinning electrons and the structure of spectra[J]. Nature, 1926, 117(2938): 264-265.

[4] Pauli W. Über den Zusammenhang des Abschlusses der Elektronengruppen im Atom mit der Komplexstruktur der Spektren[J]. Zeitschrift für Physik, 1925, 31(1): 765-783.

[5] Schrödinger E. Quantisierung als eigenwertproblem[J]. Annalen der physik, 1926, 385(13): 437-490.

[6] Nobel Foundation. The Nobel Prize in Physics 1932 – Werner Heisenberg[EB/OL]. NobelPrize.org. Available at:

出品：科普中國

作者：欒春陽 王雨桐（清華大學物理系博士）

監製：中國科普博覽