19世紀末，物理學界瀰漫着“科學終結”的樂觀情緒，多數物理學家認爲，由經典力學、電磁學和熱力學構成的物理學大廈已經近乎完美。普朗克的老師、慕尼黑物理學教授菲利普・馮・約利甚至勸他“別研究理論物理了，這門學科幾乎被研究透了，只剩些無足輕重的空白需要填補”。

這種觀點並非空穴來風。牛頓在《自然哲學的數學原理》中構建的經典力學體系，不僅能精準計算日常機械運動規律，還準確預言了諸多天文現象，甚至助力發現海王星。其強大的數學計算能力，令物理學家們驚歎“物理規律已被窮盡”。

圖（1）《自然哲學的數學原理》牛頓著

（圖片來源：sothebys）

無獨有偶，麥克斯韋通過將電學、磁學、光學統一爲電磁波，成功建立電磁學理論，並預言了無線電波的存在。其理論後整理成著名的“麥克斯韋方程組”，物理學家們認爲只要假設“以太”作爲電磁波載體，經典物理學的電磁學理論就圓滿無缺了。

除此之外，熱力學理論中的能量守恆定律和熵增原理揭示了宇宙的基本運行規則，熱力學三大定律早已成爲物理學教科書中不容置疑的準則。可以說，經典力學統治了天體和塵埃，麥克斯韋方程組統一了光與電磁波，熱力學三定律解釋了能量流轉，經典物理學的研究彷彿登峯造極，物理學家們只能感慨物理學只剩修補工作。

然而，1900年4月27日，英國物理學家威廉・湯姆森（即開爾文勳爵）在英國皇家學會發表演講《十九世紀熱和光的動力學理論上空的烏雲》，指出經典物理學的“晴朗天空”飄着兩朵烏雲：第一朵烏雲是“以太”假說與邁克爾遜-莫雷實驗結果相矛盾；第二朵烏雲是麥克斯韋-玻爾茲曼能量均分定理與黑體輻射實驗結果相矛盾。

圖（2）《十九世紀熱和光的動力學理論上空的烏雲》演講稿原文

（圖片來源：參考文獻[4]）

這兩朵烏雲看似微小，實則暗藏風暴。前者動搖了“以太”假說，催生了愛因斯坦的相對論；後者促使普朗克提出“能量量子化”概念，引爆了二十世紀的量子革命。從某種程度上說，“這兩朵小小的烏雲，最終醞釀成了一場顛覆物理學根基的風暴”。

量子物理的搖籃：黑體輻射

19世紀末，隨着第二次工業革命的浪潮席捲歐洲，德國在普法戰爭後獲得法國割讓的阿爾薩斯-洛林鐵礦，並依託本國魯爾區豐富的煤炭資源，大力發展鋼鐵工業，迅速崛起爲歐洲的工業巨頭。鋼鐵產量連年攀升，經濟隨之繁榮，國家實力也日益增強。

然而，在這看似一片大好的局面下，一個關鍵技術難題逐漸浮現：如何精準控制鍊鋼爐的溫度？鍊鋼過程對溫度要求極高，溫度過高，鋼材質量會大打折扣；溫度過低，則會導致冶煉效率低下。這個難題像一根刺，紮在了鋼鐵工業發展的道路上，亟待解決。

工程師們發現，通過觀察鍊鋼爐爐壁小孔發出的黑體輻射光譜，可以間接推算爐溫。這一需求催生了黑體輻射研究。科學家最初認爲黑體輻射只是熱力學的一個小分支，未料到它會引發經典物理學的顛覆。

黑體並非指外觀黑色的物體，而是一種理想化的物理系統，能完全吸收所有入射電磁輻射，不論其頻率和入射角。常見的黑體模型是空腔上的小孔（見下圖），空腔內壁對電磁輻射不透明。若空腔容積足夠大，入射電磁輻射幾乎無法從小孔逃逸，此時小孔的物理性質近似理想黑色表面。

圖（3）理想的“黑體”模型，即空腔上的一個小孔

（圖片來源：Wikipedia）

根據能量守恆定律，黑體吸收電磁輻射後能量增加，並以電磁波形式向外輻射能量。當能量吸收與釋放達到平衡時，黑體處於熱平衡狀態，即保持恆定溫度。此時黑體發出的電磁輻射稱爲黑體輻射。

假設空腔容積很大，腔體內電磁輻射和外殼處於熱平衡狀態，腔體保持恆定溫度。在工程實際中，黑體輻射強度僅與腔體溫度相關，與其形狀或材質無關，表現爲特定的能量特徵分佈曲線。隨着腔體溫度升高，黑體輻射曲線的峯值向更短波長方向移動，即電磁波頻率變高（見下圖）。

圖（4）隨着腔體溫度的升高，黑體輻射的強度也會增加，並且曲線峯值會移動到更長的波長

（圖片來源：Wikipedia）

黑體輻射曲線看似簡單，但其對應的物理函數解釋，曾是物理學界的一道難題。這一現象的深入研究，最終爲量子理論的誕生奠定了基礎。

經典物理的尷尬——怎麼解釋都不對！

最初，物理學家們看到黑體輻射的曲線時，普遍認爲這並非難解問題。畢竟，黑體輻射在鋼鐵工業生產中很常見，他們覺得用成熟且完善的經典物理學理論來解釋這一現象，像是“殺雞用牛刀”。

然而，隨着研究深入，事情發展完全出乎意料，最終走向了一個誰都無法預見的新方向。

一. 瑞利-金斯公式的侷限性

1900年，瑞利勳爵着手研究黑體輻射問題，他依據經典電動力學和統計力學中的能量均分定理進行推導，提出了一個關於黑體輻射能量分佈的公式。但遺憾的是，當時他未能完全確定公式中的係數。

到了1905年，物理學家詹姆斯・霍普伍德・金斯在瑞利的研究基礎上，對理論進行了完善，特別是修正了公式中的係數，最終確立了完整的“瑞利-金斯公式”。這個公式爲解釋黑體輻射現象提供了新的理論依據。

“瑞利-金斯公式”的推導基於兩個關鍵假設：

一方面，黑體空腔內的電磁波以駐波形式存在。所謂的駐波，是指在黑體空腔內，電磁波的波形保持相對穩定，並且在特定的空間位置上形成振幅的最大值和最小值。駐波模式數可以通過三維波矢空間的積分計算得出，這種計算方法綜合考慮了電磁波在黑體空腔內的傳播方向、波長等衆多因素，從而能夠較爲準確地描述黑體空腔內電磁波的分佈情況。

另一方面，黑體空腔內每個駐波模式的能量遵循熱力學中的“麥克斯韋-玻爾茲曼”能量均分定理。這個定理告訴我們，在熱平衡狀態下，每個自由度的平均能量爲kʙT（其中kʙ是玻爾茲曼常數，T是溫度）。在這裏，自由度可以理解爲電磁波振動的方向和方式，這意味着每個可能的振動模式都具有相同的平均能量，這似乎符合經典熱力學的統計規律。

然而，當物理學家們滿心歡喜地認爲這一公式能夠完美解釋黑體輻射現象時，問題卻出現了——實際應用表明，該公式只能較好地擬合黑體輻射曲線中的長波區域。當電磁波的波長較短時，公式所預測的輻射能量密度會急劇上升，呈現出與實驗結果嚴重不符的情況。這種不符並非微小的偏差，而是呈現出一種極端的態勢，即隨着波長的不斷縮短，公式計算出的輻射能量密度會呈現出指數形式的增長，與實際實驗中觀察到的黑體輻射曲線相差甚遠。

這一現象的出現，實際上揭示了經典物理學理論在解釋黑體輻射問題上的巨大侷限性。按照經典物理學的思路，電磁波的能量是連續分佈的，並且每個振動模式的能量都遵循經典能量均分定理。然而，這種假設在黑體輻射的短波長區域（即紫外光方向）導致了荒謬的結果：黑體空腔會在高頻區域輻射出無限大的能量密度，這顯然與實際觀測到的現象完全不符。物理學家們將這種令人困惑的現象形象地稱爲“紫外災難”。

圖（5）“瑞利-金斯公式”擬合曲線與“紫外災難”的示意圖

（圖片來源：assignmentpoint）

二. 維恩公式的侷限性

除了瑞利-金斯公式外，當時還有維恩公式也被用於描述黑體輻射曲線。

德國物理學家維恩在長期研究熱輻射的基礎上，發現黑體輻射的實驗曲線與氣體分子的速度分佈有相似之處。於是，他借鑑熱力學公式，結合實驗數據，擬合出了維恩公式。

然而，維恩公式同樣面臨一些尷尬的問題，這體現在以下兩個方面：

1.維恩公式在短波段（如可見光和紫外光區域）與實驗結果較爲吻合。這是因爲維恩在研究中更多地參考了短波長的實驗數據，所以公式在這一區域表現較好；

2.維恩公式在長波段（如紅外和微波區域）的預測能力明顯不足，計算出的輻射強度遠低於實際觀測值。

這些問題暴露了當時經典物理理論在解釋黑體輻射現象上的侷限性。

圖（6）“瑞利-金斯公式”以及“維恩公式”擬合曲線

與黑體輻射實驗曲線的對比圖

（圖片來源：Wikipedia）

總的來說，瑞利-金斯公式在長波段表現尚可，但在短波段出現 “紫外災難”，違背實驗結果；維恩公式在短波段表現較好，但在長波段又無法匹配實驗數據。這表明經典物理理論在處理微觀現象時存在根本性缺陷，迫切需要新的理論來解決這些問題，而量子理論的出現正是解決這些難題的關鍵。

量子物理誕生的前夜

1900年10月7日，在這個具有劃時代意義的夜晚，德國實驗物理學家海因裏希・魯本斯攜帶其最新的黑體輻射實驗曲線，偕同夫人應邀來到普朗克家中赴宴。當魯本斯展示實驗曲線時，其結果與普朗克此前堅信的維恩公式存在明顯差異，這一發現猶如巨石投入平靜湖面，瞬間激起千層浪，令普朗克極爲震驚。

圖（7）馬克斯・普朗克（Max Planck）的青年照，他是德國著名的量子物理學家，也是量子力學的重要創始人之一，被譽爲“量子理論之父”

（圖片來源：Wikipedia）

此前，普朗克投入大量時間和精力，試圖從統計物理和電磁場理論角度理解和推導維恩公式，並堅信其爲黑體輻射的普遍規律。然而，魯本斯展示的實驗曲線無情地擊碎了他的信念。這次會面猶如一記警鐘，驚醒了普朗克，促使他開始重新審視黑體輻射的規律。

那是一個不眠之夜，普朗克在書房中反覆思考、推敲，試圖尋找一種新理論來解釋黑體輻射現象，挑戰經典物理學的侷限性。經過一夜努力，他在次日清晨豁然開朗，遞交了全新的普朗克公式，這個公式猶如一把鑰匙，開啓了量子物理的大門，成爲量子物理的“出生證明”。

這一發現不僅解決了黑體輻射之謎，更爲整個物理學界帶來了全新的視角和研究方向。它引領科學家們走進了一個充滿未知與奇蹟的微觀世界，開啓了改變世界的科學革命。

那麼，這個具有劃時代意義的“普朗克公式”到底是什麼呢？普朗克在那一夜是如何靈光乍現，獲得這一重要發現的？這個公式又是如何與我們所熟悉的量子概念緊密相連的呢？下一篇文章中，讓我們共同見證量子物理的誕生時刻，探索這一改變科學進程的偉大發現！

參考文獻

[1] Kelvin L. I. Nineteenth century clouds over the dynamical theory of heat and light[J]. The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 1901, 2(7): 1-40.

[2] Strutt J W, Rayleigh L. Remarks upon the law of complete radiation[J]. Phil. Mag, 1900, 49: 539.

[3] Wien W. On the division of energy in the emission-spectrum of a black body[J]. The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 1897, 43(262): 214-220.

[4] Kelvin L. I. Nineteenth century clouds over the dynamical theory of heat and light[J]. The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 1901, 2(7): 1-40.

出品：科普中國

作者：欒春陽 王雨桐（物理學博士）

監製：中國科普博覽