在量子力學恢弘殿堂的建造史上，馬克斯·玻恩（Max Born）扮演着至關重要的雙重角色：他不僅是爲其注入深邃“靈魂（概率詮釋）”的哲學家，更是親手爲其奠定堅實“框架（矩陣形式）”的偉大建築師。

1925年，當年輕的沃納·海森堡（Werner Heisenberg）帶着顛覆經典物理圖景的模糊構想回到哥廷根時，玻恩就以其非凡的物理直覺和深厚的數學洞察力，敏銳地識別出其中蘊藏的革命性潛力。玻恩果斷行動，不僅爲海森堡的思想提供了關鍵的數學識別（矩陣形式），更組織起包括數學物理學家帕斯庫爾·約旦（Pascual Jordan）在內的團隊，將零散的靈感火花鍛造爲系統、嚴謹的理論體系。

玻恩在矩陣力學建立過程中的貢獻遠不止於參與，他更是核心的推動者、完善者、捍衛者，並最終爲其注入了靈魂。這段跨越代際與專業的合作，完美詮釋了理論物理研究中“物理直覺”與“數學形式”的精妙結合。而玻恩，無疑是主導這一結合的靈魂人物。矩陣力學的成功建立，連同他隨後提出的概率詮釋，共同構成了支撐現代量子力學大廈最核心的樑柱，彰顯了玻恩作爲量子理論奠基人的不朽功勳。

01 慧眼識珠——玻恩與矩陣力學的艱難降生

1925年，原子光譜的精確規律如同難解的密碼，挑戰當時物理學家的智慧。爲了尋找原子光譜的理論解釋，海森堡選擇只使用可觀測的物理量（例如，光譜線的頻率和強度）來構建理論，而不去假設不可觀測的電子軌道。

於是，海森堡將不同能級間的躍遷量排列組合進行數學運算，卻發現了一個奇特現象：運算結果依賴於乘法的順序！這與經典物理和日常代數遵循的交換律截然不同，海森堡直覺到這是關鍵卻困惑於其物理本質。

當海森堡將這份充滿疑惑的手稿呈交給導師玻恩時，歷史的關鍵轉折點出現了。玻恩憑藉其卓越的數學素養，很快便認出了海森堡表格中那些“不聽話”的運算規則所對應的數學結構——矩陣代數。

玻恩的這次識別是決定性的。他沒有停留在欣賞弟子的直覺上，而是迅速而堅定地採取了行動：他明確告知海森堡其工作的數學本質是矩陣，並立即着手組織力量進行系統化。玻恩深知自身在矩陣代數具體運算上的不足，於是邀請了精通此道的年輕助教約旦加入合作。玻恩在這一階段的核心角色是識別方向、搭建團隊、提供關鍵數學認知。

在玻恩的領導和協調下，三人合作高效推進：海森堡提供物理思想的核心，玻恩把握整體方向、洞察物理與數學的對應關係，約旦則承擔起繁複而精密的數學推導工作。玻恩是合作的靈魂和組織者。

1925年，以玻恩和約旦署名的論文《Zur quantenmechanik》發表，這篇在玻恩主導下完成的論文，首次系統地將矩陣確立爲量子力學的基本數學工具，清晰地闡述了矩陣運算規則（特別是非交換的乘法），並開始將位置、動量等物理量表示爲矩陣。

圖1 玻恩與約旦的矩陣力學早期合作論文

（圖片來源：參考文獻[3]）

緊接着，1926年，三人合作的集大成之作《Zur quantenmechanik. II.》問世。這篇同樣凝聚了玻恩核心思想的論文，爲矩陣力學奠定了堅實的公理化基礎，明確了其數學框架和物理原理。矩陣力學作爲一個完整的理論正式誕生，而玻恩是這一誕生過程中不可或缺的主導者。

圖2 玻恩、海森堡、約旦合作發表的矩陣力學系統化論文

（圖片來源：參考文獻[1]）

然而，新生理論的成長總是伴隨着質疑的陣痛。矩陣力學徹底摒棄了物理學家長久以來依賴的直觀空間圖像和連續軌跡描述，將物理實在抽象爲矩陣元和陌生的非交換代數運算。這種高度抽象的形式讓許多習慣於經典物理圖像的學者感到難以理解甚至強烈牴觸，“不物理”成爲常見的批評。

面對洶湧的質疑浪潮，玻恩則是挺身而出，成爲矩陣力學最堅定、最有力的捍衛者。他在哥廷根的研討班、在重要的學術會議上，反覆地、耐心地爲這個“怪異”的理論辯護。玻恩辯護的核心武器始終是“經驗證實”這一科學理論的終極判據。他雄辯地指出：矩陣力學雖然犧牲了傳統意義上的直觀性，但它能夠系統、精確地計算並再現已知的高精度光譜實驗結果（如氫原子光譜的巴耳末系），這是任何有生命力的物理理論必須做到的，也是其正確性的最終證明。正是玻恩這種基於實證的堅定立場和富有說服力的辯護，使矩陣力學在最初的激烈爭議中站穩了腳跟，並逐漸贏得部分同行的認真對待和接受。 玻恩的學術領導力和說服力，是矩陣力學早期生存和發展的關鍵保障。

02 中流砥柱——玻恩奠定矩陣力學的基石

玻恩在矩陣力學確立和發展過程中的貢獻是奠基性的和全方位的。他遠不止是一位慧眼的發現者和堅定的辯護者，更是爲這座理論大廈澆築混凝土、搭建主樑的工程師。他的核心工作體現在兩個密不可分的維度：數學形式的嚴格化與物理意義的深化。這兩個維度的工作，都深深烙上了玻恩的印記。

1）數學形式的嚴格化：玻恩主導構建理論框架

海森堡的初始想法閃爍着物理直覺的光芒，但在數學上卻是模糊和不完備的。玻恩認識到，要將這個革命性的想法變成堅實的理論，必須賦予其嚴謹的數學形式。在海森堡與約旦的合作中，首要目標就是將海森堡跳躍性的物理直覺，轉化成一個邏輯嚴密、自洽的數學體系。在玻恩署名的關鍵論文中，他們系統地完成了矩陣力學的數學建構：

物理量的矩陣表示：明確將系統的可觀測量（如位置座標、動量、能量等）表示爲矩陣（通常是無限維）；

運動方程：給出了量子系統的動力學方程，即矩陣如何隨時間演化；

核心支柱：非對易關係的發現與確立，這是玻恩及其合作者對量子力學最深刻、影響最深遠的貢獻之一。

在玻恩的指導下進行數學推導時，爲了滿足能量守恆等基本原理，他們發現並明確表述了量子力學最核心的關係之一 —— 位置矩陣與動量矩陣的乘積是不可交換的。其數學表達式爲：

其中，是普朗克常數，是虛數單位，是單位矩陣。

這個“非對易關係”絕非數學巧合，它深刻揭示了量子世界與經典世界最根本的差異之一：在微觀領域，同時精確測量某些成對的物理量（如位置和動量）在原則上是不可能的。玻恩主導確立的這個關係，成爲了量子力學數學結構中最核心的支柱。它不僅完美解釋了海森堡最初遇到的乘法順序異常，更直接爲海森堡本人稍後提出不確定性原理（測不準原理）提供了堅實的數學基礎。

可以說，玻恩的工作，將海森堡的靈感火花，鍛造成了具有強大數學威力和深刻物理內涵的理論基石。

圖3 馬克斯·玻恩（Max Born）、沃納·海森堡（Werner Heisenberg）

以及帕斯庫爾·約旦（Pascual Jordan）的人物圖

（圖片來源：Wikipedia）

2）物理意義的深化：玻恩連接理論與實驗

玻恩深諳理論物理學的真諦 —— 一個數學上再優美的理論，若不能清晰地解釋物理現象並接受實驗檢驗，終將是空中樓閣。因此，在推動矩陣力學數學嚴格化的同時，玻恩始終不遺餘力地致力於闡明其物理內涵，並不斷強調其與實驗的緊密聯繫。這是他在矩陣力學發展中另一項核心貢獻。

玻恩最常引用的、也是最具說服力的矩陣力學成功案例，就是它對原子光譜的卓越解釋能力。他詳細闡述了矩陣力學如何能夠系統、自然地推導出原子能級公式（例如類氫原子光譜的精細結構），並計算光譜線的強度（即躍遷發生的概率），其結果與當時已知的高精度光譜實驗數據高度吻合。

玻恩反覆向學界強調：矩陣力學絕非數學家書齋裏的智力遊戲，而是物理學家手中理解原子世界運行規律的有效且強大的工具。他通過具體案例展示了理論的預測和解釋能力。在哥廷根的課堂和講座中，玻恩總是耐心地、一步步地向學生和同行演示如何用矩陣力學計算具體的原子光譜問題，以此彰顯其堅實的物理實在性。

在矩陣力學框架下，“量子躍遷”不再是玻爾模型中人爲附加的假設，而是理論本身自然推導出的核心過程。系統狀態的變化被理解爲不同定態（能級）之間的躍遷。玻恩認同並闡釋了這種描述方式，認爲它雖然放棄了經典連續運動的圖像，卻有效地捕捉了量子過程內在的、本質的非連續性。

玻恩在哥廷根的組織和教學工作，也是矩陣力學得以迅速傳播和發展的關鍵。他開設的課程和研討班，成爲傳播這一革命性理論的重要中心。玻恩以其清晰的物理圖像、深厚的數學功底和對新思想的開放態度，吸引並培養了衆多才華橫溢的年輕物理學家。沃爾夫岡·泡利（Wolfgang Pauli）、恩里科·費米（Enrico Fermi）、尤金·維格納（Eugene Wigner）、羅伯特·奧本海默（J. Robert Oppenheimer）等未來巨擘，都曾在哥廷根直接受到玻恩思想的深刻影響，透徹理解了矩陣力學的精髓。玻恩不僅構建了理論，更通過教育培養了一代量子力學的實踐者和開拓者，確保了矩陣力學思想的迅速傳播和量子力學整體的蓬勃發展。玻恩的學術領導力和教育貢獻，是其構建量子力學“骨架”工作中不可或缺的一部分。

03 矩陣力學與波動力學的統一 —— 一枚硬幣的兩面

1926年初，埃爾溫·薛定諤（Erwin Schrödinger）提出了另一種截然不同的量子理論表述 —— 波動力學。薛定諤方程以連續的波函數描述系統狀態，其數學形式接近經典的波動理論，物理圖像相對直觀，迅速贏得了許多物理學家的青睞。一時間，矩陣力學與波動力學似乎形成了競爭態勢。

然而，薛定諤本人很快做出了一個關鍵貢獻：他在1926年的論文中，嚴格證明了矩陣力學與波動力學在數學上是完全等價的！這意味着，雖然兩者使用的數學語言迥異，切入點不同，但它們描述的是同一物理實在。如同一枚硬幣的兩面，物理學家可以根據具體問題的性質選擇更便捷的工具。

玻恩對這一劃時代的發現展現出了非凡的開放性和遠見卓識。他沒有固守自己參與創立的矩陣形式，而是熱情地擁抱了這種等價性，並深刻認識到其重大意義。玻恩指出，這種等價性表明量子力學已經發展成爲一個足夠豐富和堅實的理論框架，能夠容納不同的數學表述。玻恩的開放性態度極大地促進了學界的接受，並豐富了理論物理學的工具箱。

更重要的是，這種統一爲玻恩自己的革命性思想“概率詮釋”的提出鋪平了道路，並最終由他完成了概念上的統一。就在薛定諤證明等價性後不久，玻恩在處理碰撞（散射）問題時，對波動力學中的波函數提出了一個大膽的詮釋：的量值代表了在空間中某點發現粒子的概率密度。這就是名垂青史的“玻恩概率詮釋”。這一詮釋的提出是玻恩獨立且原創性的偉大貢獻。

結語

回望量子力學的創建歷程，馬克斯·玻恩在矩陣力學誕生與發展中的決定性作用，奠定了其作爲量子理論主要奠基人的歷史地位。當海森堡帶來顛覆性的思想火花時，是玻恩以其深邃的物理洞察力和數學眼光，第一時間識別出其革命性價值，並精準地指明瞭其數學本質——矩陣。他不僅是慧眼識珠者，更是果斷的行動者與卓越的組織者，將模糊構想轉化爲嚴謹理論。

玻恩在矩陣力學中的貢獻是全方位和奠基性的：他識別並引入矩陣代數作爲核心工具；主導構建了理論的數學框架（公理化體系、運動方程）；發現並確立了揭示量子世界根本特徵的非對易關係；不遺餘力地闡釋理論物理意義，堅定捍衛其與實驗的緊密聯繫；並通過教學培養人才，推動理論傳播。

圖4 馬克斯·玻恩（Max Born）在哥廷根的墓碑上刻着正則交換關係

（圖片來源：Wikipedia）

矩陣力學的成功建立，標誌着量子力學從經驗規則飛躍爲系統理論。玻恩主導構建的這套以可觀測量爲核心、以非對易代數爲特徵的數學“骨架”，爲量子世界建立了普適的描述框架。它不僅直接解釋了原子光譜，更成爲後續所有量子理論發展的基石——波動力學的等價性、概率詮釋的提出、不確定性原理乃至量子場論，無不建立在此基礎之上。沒有玻恩奠定的“骨架”，現代量子物理學的宏偉大廈就無從建立。

參考文獻：

[1] Born M, Heisenberg W, Jordan P. Zur quantenmechanik. II[J]. Zeitschrift für Physik, 1926, 35(8): 557-615.

[2] Heisenberg W. On the quantum-theoretical reinterpretation of kinematical and mechanical relationships[J]. Z. Physik, 1925, 33: 879-893.

[3] Born M, Jordan P. Zur quantenmechanik[J]. Zeitschrift für Physik, 1925, 34(1): 858-888.

[4] Schrödinger E. Quantisierung als eigenwertproblem[J]. Annalen der physik, 1926, 385(13): 437-490.

[5] Born M. Born-Einstein Letters: Friendship, politics, and physics in uncertain times.(1971)[J].

[6] Rechenberg H. The historical development of quantum theory[M]. Springer Science & Business Media, 1982.

出品：科普中國

作者：欒春陽、王雨桐（清華大學物理系博士）

監製：中國科普博覽