圖源：pixabay

編者按：

一個真實的金融市場，可能同時受到幾十、上百甚至上千種因素的影響，從資產價格、利率變化、市場波動、投資者行爲、時間跨度，到投資組合中成百上千只股票的聯動、瞬息萬變的市場環境，這些情況，使得金融學核心問題的解決，往往像是在一場多維空間的迷宮中尋找出口，動輒成千上萬維度的變量交織在一起，構成了金融工程中最爲堅硬的堡壘——“維數災難”。

在金融工程中，被稱爲“母方程”的 Hamilton-Jacobi-Bellman equation（HJB方程），正是這一困境的集中體現。它是隨機最優控制理論的核心工具，用於刻畫跨期最優決策問題，例如動態資產配置、風險管理等。然而，高維、強非線性以及粘性解等數學特性，使得HJB方程長期以來難以被有效求解。本文將帶您瞭解一些令人振奮的新進展。

撰文｜湯濤

責編｜李珊珊

在過去半個多世紀的科學探索中，人們曾發展出一系列成熟而可靠的科學計算方法，例如有限差分法、有限元法、譜方法、蒙特卡洛法以及離散傅里葉變換等。在這些方法的基礎上，誕生了衆多功能強大的科學計算軟件：從基於有限元的工程仿真平臺，到基於快速傅里葉變換的信號處理工具，極大推動了科學與工程仿真的發展與完善。如今，無論是飛機、汽車、火箭、高鐵等先進裝備的研製，還是信號處理、圖像處理、人臉識別與手機設計等關鍵技術的實現，都離不開這些科學計算軟件的助力，它們已成爲推動人類科技進步、提升生活質量和探索宇宙奧祕的得力助手。

這些科學與工程的進步都建立在牛頓力學、量子力學，以及芯片設計、材料科學與化學等基礎學科的持續突破之上。然而，傳統數值計算方法的發展也遭遇一個根本性瓶頸——“維數災難”：由於它們通常依賴網格剖分或傅里葉展開，計算成本隨問題維數呈指數級增長，因此大多隻適用於低維情形。面對金融學中動輒成百上千維的複雜問題，這些方法就顯得捉襟見肘、舉步維艱了。

01 金融問題的高維特性與難解的HJB方程

金融問題爲什麼會有這麼大的“維數”？

核心原因在於金融系統本身是多因素驅動的複雜動態系統：研究者往往需要同時刻畫資產特徵、市場環境、參與者行爲、時空維度等多層級變量，單一或僅依賴少數變量難以解釋或預測金融現象。因此，高維性是對現實金融世界的客觀映射，也由金融研究的目標和應用需求所決定。簡單來說，金融問題的“維數”可以理解爲分析時需要納入的獨立變量數量。比如在投資組合管理中，需要同時刻畫多支股票各自的特徵及其相互相關性，使得需要納入分析的變量數量顯著增加。正是這些維度的疊加與交織，構成了金融問題天然的高維特徵。

此時，便出現了HJB方程（Hamilton-Jacobi-Bellman方程），它得名於哈密頓、雅可比和貝爾曼三位學者，本質上是貝爾曼的動態規劃原理在連續時間、含隨機性的決策場景中的數學表達，與經典力學中的哈密頓–雅可比方程有密切聯繫。HJB方程既是隨機最優控制理論的核心方程，也是動態經濟分析中刻畫最優決策的基礎數學工具。因它能統一描述經濟學中各類跨期最優選擇問題，被稱爲金融工程的“母方程”。

最優控制理論的一個相關例子是投資組合管理中的動態資產配置問題。該問題的目標是在給定的時間範圍內對收益與風險進行權衡：在既定風險水平下最大化預期收益，或在目標收益水平下最小化風險。這裏的風險通常用量化指標（如投資組合方差或風險價值）來衡量。該問題的被控系統即是投資組合本身，它的狀態由各類資產（如股票、債券、現金）的配置比例及其各自的價值共同決定，這些資產價值會隨着市場動態的變化而變化。而控制的手段則是通過動態調整資產配置比例，從而更好地權衡收益和風險。

最優控制理論爲動態資產配置問題提供了強有力的數學工具。它能夠確定如何以及何時對投資組合進行再平衡，並在決策過程中綜合考慮交易成本、市場影響、流動性約束以及不斷變化的市場環境等多重因素，從而實現既定的控制目標。在實際應用中，這一過程可歸結爲對HJB 方程的求解，進而獲得最優的反饋控制策略：根據當前市場狀況和資產價格的預測隨機演變，制定何時以及如何重新平衡投資組合的規則。

然而，實際金融問題的高維特徵直接導致了HJB方程的高維性，使得傳統數值方法不可避免地遭遇維數災難。不僅如此，HJB方程本身屬於強非線性偏微分方程，其解通常不具備經典的光滑性，而是以粘性解的形式存在。要對粘性解進行穩定且可靠的數值逼近，算法必須具備良好的數學性質（如單調性等）。同時，經濟學的現實建模需求：包括非光滑約束、內生邊界等，進一步提升了對計算方法的要求。因此，高維HJB方程的求解非常困難，長期以來一直是數學家、經濟學家和金融工作者望而卻步的大難題。

隨着人工智能時代的到來，機器學習和深度學習方法給求解金融學母方程帶來了曙光！最近的進展是通過深度學習，可以在人類長期無法想象的上萬維高維空間中，尋找出最優控制策略。

02 深度學習方法應對金融問題的維數災難

有限元數學理論的創始人、中國計算數學的奠基人馮康先生有兩句名言：“一個科學家最大的本領就在於化複雜爲簡單，用簡單的方法去解決複雜的問題”，“對同一個物理問題可以有許多不同的數學形式，它們在理論上等價，但在實踐中未必等效”，後一句話也可以表述爲“數學上等價，但計算上不等效”。這一思想的最新例證，可參見美國數學家、2014年高斯獎得主Stanley Osher及其合作者的近期工作（arXiv:2602.05124）。他們將一類Hamilton-Jacobi方程等價地改寫爲一個確定性的最優控制問題，後者可通過優化算法直接求解，從而避免對高維偏微分方程進行顯式的數值離散，巧妙地避免了維數災難問題。

HJB方程與最優控制問題同樣密切相關，但相較於經典的Hamilton-Jacobi方程，HJB方程還進一步刻畫了決策過程中的隨機性。正是利用這一隨機性，中國科學院數學與系統科學研究院周濤（2025年中國數學會陳省身獎獲得者）、美國南衛理公會大學蔡偉（2005年馮康科學計算獎得主），以及中國科學院數學與系統科學研究院的博士後方水鑫，藉助概率論中的“鞅”理論，將HJB方程等價轉化爲隨機問題，然後採用基於“隨機”方法的深度學習方法，“化複雜爲簡單，用簡單的方法去解決複雜的問題”，使得成千上萬維數的HJB方程的數值解在幾十分鐘之內得到（見本文後參考文獻）。

通過隨機模型研究偏微分方程的思路由來已久，尤其在科學計算領域，伴隨深度學習技術的快速發展，這一思想正煥發出新的活力。早在20世紀中葉，諾貝爾物理學獎獲得者理查德·費曼（Richard Feynman）與波蘭裔美國數學家馬克·卡茨（Mark Kac）提出著名的費曼–卡茨公式，將線性拋物型偏微分方程的解表示爲相應隨機過程的條件數學期望。 20世紀90年代，法國數學家埃蒂安·巴赫杜（Étienne Pardoux）與中國數學家彭實戈奠定了倒向隨機微分方程（BSDE）的理論基礎，建立非線性費曼–卡茨公式，從而揭示了非線性拋物型方程與BSDE之間的深刻聯繫。在此基礎上，中國科學院院士鄂維南及其合作者提出deep BSDE方法，藉助深度學習對BSDE進行數值求解，實現了高維拋物型方程的有效計算。基於隨機思想設計深度學習方法，從而克服維數災難，這是近年來科學計算領域的一個重要發展趨勢。

周濤、蔡偉等人將隨機方法與深度學習相結合求解HJB方程的工作，正是沿着這一脈絡的自然延伸。值得一提的是，他們對算法進行了充分優化，使其能夠高效利用現代GPU強大的並行計算能力，這也是爲什麼上萬維數的方程可以被短時間內成功求解。並行計算是一種同時使用多個計算資源協同解決某個計算問題的計算範式，核心是把複雜任務拆分成多個可同時執行的子任務，分配給不同處理器並行處理，最終彙總結果，以此提升計算速度、處理更大規模數據。周濤、蔡偉等人的方法還被應用於金融數學中著名的布萊克–舒爾斯（Black-Scholes）模型，這些工作爲快速求解金融市場中的複雜問題帶來了新的可能性。

參考文獻：

[1] Wei Cai,Shuixin Fang and Tao Zhou, SOC-MartNet: a martingale neural network for the Hamilton-Jacobi-Bellman equation without explicit inf_u(H) in stochastic optimal controls, SIAM J. Sci. Comput., 47(4), C795-C819, 2025.

[2] Wei Cai,Shuixin Fang, and Tao Zhou, Deep random difference method for high-dimensional quasi-linear partial differential equations, J. Comput. Phy., Vol. 555, 114767, 2026.